Prueba de que los vectores describen la realidad correctamente

La física es una ciencia empírica. Las únicas cosas que tienen significado físico son las medidas experimentales. Uno de nuestros objetivos como físicos es escribir modelos matemáticos, cuyos resultados corresponden a estas medidas. La única forma de verificar la validez de un modelo es comparar los resultados del modelo con las mediciones. No hay forma de garantizar o probar que un modelo dado sea correcto, en el sentido de una prueba matemática. Lo mejor que podemos hacer es adquirir evidencia de que nuestro modelo concuerda con los experimentos.

Dado que las únicas cosas con significado físico son las medidas, los objetos y las técnicas matemáticas que usamos en nuestros modelos no tienen significado en el mundo físico. Son solo herramientas para calcular resultados que podemos comparar con experimentos.

Si usamos un modelo como la mecánica newtoniana que usa vectores para producir predicciones que concuerdan con los experimentos, aceptamos la validez de ese modelo, incluidas las herramientas matemáticas que aplica. Pero esto no es en absoluto una prueba de que los vectores proporcionen una descripción de la realidad, ni podemos esperar tener tal prueba, porque los experimentos no pueden probar nada y porque las mediciones experimentales son la única descripción de la realidad.

Habiendo dicho todo eso, los vectores son objetos matemáticos muy naturales y genéricos que aparecen cada vez que usamos un modelo que es lineal. Los modelos lineales suelen ser los modelos más simples de comprender y calcular. (Tal vez esto se deba a la forma en que evolucionaron nuestros cerebros). Gran parte de lo que hacemos en física es reducir problemas complicados a algo lineal, en cuyo caso los vectores siempre aparecerán.

Por ejemplo, en relatividad general, el espacio-tiempo no es un espacio lineal. Pero si nos acercamos a una región infinitesimalmente pequeña del espacio-tiempo, podemos modelar esta pequeña región mediante un espacio lineal, que podemos describir usando vectores. Entonces podemos describir el complicado espacio-tiempo esencialmente pegando estos espacios lineales.

Otro ejemplo es que en física nos interesa la acción de las simetrías sobre nuestro modelo. Para estudiar cómo actúan estas simetrías, podemos observar en particular cómo actúan sobre espacios lineales, es decir, sobre vectores. Esto se llama teoría de la representación. La teoría de la representación es esencial para nuestra comprensión actual de la mecánica cuántica.

A pesar del hecho de que los vectores no tienen ni pueden tener ningún significado físico, es probable que los vectores siempre aparezcan en nuestros modelos físicos, porque siempre querremos poder reducir problemas complicados a problemas lineales más fáciles de entender.