Prueba de que el álgebra de grupos discretos es de hecho un álgebra

Actualmente estoy leyendo el texto "Álgebras normadas completas" de FF Bonsall y J. Duncan. Soy muy nuevo en esta área temática, ¡así que por favor, sé sincero conmigo!

El ejemplo 18 en la página 6 dice que si$G$es un grupo y$\ell^1(G)$denota el conjunto de todas las funciones$f : G \to \mathbb{C}$tal que:

$$\sum_{s \in G} |f(x)| < \infty$$

Entonces$\ell^1(G)$con suma puntual, multiplicación escalar y convolución como producto dado por:

$$(f * g)(s) = \sum_{t \in G} f(t)g(t^{-1}s)$$

Y con norma:

$$\| f \| = \sum_{s \in G} |f(s)|$$

es un álgebra de Banach y se llama álgebra de grupos discretos de$G$.

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Actualmente estoy tratando de verificar este ejemplo. Claramente$\ell^1(G)$con suma y multiplicación escalar es espacio lineal normado. Creo que todo lo que necesito verificar es que$\ell^1(G)$con convolución como lo hace el producto$\ell^1(G)$un álgebra, y eso$\| \cdot \|$es además una norma de álgebra sobre$\ell^1(G)$.

Primero, para mostrar que$\ell^1(G)$es un álgebra necesito mostrar que la convolución es asociativa, distributiva con la suma, y ​​que$(\alpha \beta)(f * g) = (\alpha f) * (\beta g)$para todos$\alpha, \beta \in \mathbf{F}$(=$\mathbb{R}$o$\mathbb{C}$) y todo$f, g \in\ell^1(G)$. Creo que soy bueno para verificar todo esto EXCEPTO para verificar la asociatividad.

Para la asociatividad, si$f, g, h \in\ell^1(G)$y$x \in G$entonces:

$$\begin{align*} [(f * g) * h](x) &= \sum_{t \in G} (f * g)(t) h(t^{-1}x) \\ &= \sum_{t \in G} \left [ \sum_{s \in G} f(s)g(s^{-1}t) \right ] h(t^{-1}x) \\ &= \sum_{t \in G} \sum_{s \in G} f(s)g(s^{-1}t)h(t^{-1}x) \end{align*}$$

A partir de este momento, he leído que debería usar el teorema de Fubini para cambiar el orden de la suma. Ha pasado MUCHO tiempo desde que miré el teorema de Fubini, así que no estoy completamente seguro de por qué puedo usarlo aquí (cualquier comentario sería muy apreciado), pero entonces:

$$\begin{align*} [(f * g) * h](x) &= \sum_{s \in G} \sum_{t \in G} f(s)g(s^{-1}t)h(t^{-1}x) \\ &= \sum_{s \in G} f(s) \left [ \sum_{t \in G} g(s^{-1}t)h(t^{-1}x) \right ] \\ \end{align*}$$

Ahora se supone que debo reemplazar el$t$en la suma interna con$st$Llegar:

$$\begin{align*} \sum_{t \in G} g(s^{-1}t)h(t^{-1}x) &= \sum_{t \in G} g(s^{-1}(st)) h((st)^{-1}x) \\ &= \sum_{t \in G} g(t) h(t^{-1}s^{-1}x) \end{align*}$$

(No me he convencido del todo de por qué las sumas anteriores son iguales. Estoy un poco oxidado aquí, por lo que agradecería cualquier ayuda).

Y entonces:

$$\begin{align*} [(f * g) * h](x) &= \sum_{s \in G} \left [ \sum_{t \in G} g(t) h(t^{-1}s^{-1}x) \right ] \\ &= \sum_{s \in G} f(s) (g * h)(s^{-1}x) \\ &= [f * (g * h)](x) \end{align*}$$

Entonces$(f * g) * h = f * (g * h)$. ¿Es esta prueba correcta y alguien podría ayudar a llenar mis lagunas? ¡Gracias!

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Además, ¿por qué este espacio es un álgebra de Banach?