Propagador de la ecuación de Dirac en el espacio real

Question

Propagador de la ecuación de Dirac en el espacio real

Física
fermiones
ecuación de dirac
greens-funciones
teoría cuántica de campos

Greg Gravitón

Estoy interesado en el propagador retardado para un fermión de Dirac sin masa libre, es decir, soluciones $ψ$ a la PDE no homogénea

(\partial_{t} - \nabla \cdot \vec{σ}) ψ (X, t) = F (X, t)

$(∂_t- \nabla·\vec σ) ψ(x,t) = f(x,t)$

con condiciones de contorno

ψ (X, t) \to 0 para t \to - \infty

$\quad ψ(x,t) \to 0 \text{ for } t \to -∞$

dónde $\vec σ = (σ_1,σ_2,σ_3)^T$ son las tres matrices de Pauli. (Las condiciones de contorno pueden ser aún más restrictivas, solo quiero que la solución decaiga lo suficientemente rápido en el infinito para que se vuelva única y tenga una transformada de Fourier bien definida).

Ahora, resolver la ecuación de Dirac es un ejercicio estándar en prácticamente todos los libros de QFT, pero todos los libros que he visto solo consideran la transformada de Fourier del propagador.

Sin embargo, estoy interesado en la fórmula del espacio real para el propagador retardado.

Usando el propagador retardado para la ecuación de onda en $3+1$ dimensiones, podemos escribir

ψ (X, t) = (\partial_{t} + \nabla \cdot \vec{σ}) (\partial_{t}^{2} - \nabla^{2})^{- 1} F (X, t)

$ψ(x,t) = (∂_t + \nabla·\vec σ)(∂_t^2 - \nabla^2)^{-1} f(x,t)$

= (\partial_{t} + \nabla \cdot \vec{σ}) \frac{1}{4 π \cdot algo} \int d^{3} X^{'} d t^{'} \frac{1}{| X - X^{'} |} d (| X - X^{'} | - | t - t^{'} |) F (X^{'}, t^{'})

$= (∂_t + \nabla·\vec σ) \frac1{4π·\text{something}}∫d^3x'dt' \frac1{|x-x'|}\delta(|x-x'|-|t-t'|) f(x',t')$

pero esta fórmula me parece seriamente rara: llevar a cabo la diferenciación con respecto a $x$ y $t$ diferenciará el $\delta$ -función en la integral, lo que significa que la solución depende de las derivadas de la función $f$ . ¡Esto va en contra de mi intuición de que una PDE lineal de primer orden debería depender directamente de los valores iniciales, y no de sus derivados de tiempo y espacio!

¿Hay alguna referencia donde pueda encontrar una discusión sobre el propagador retardado de la ecuación de Dirac (sin masa) en el espacio real?

Trimok

Estás sumando en todo

t^{'}

$t'$ , por lo que su expresión no depende de un valor de la derivada temporal de

f

$f$ en un tiempo inicial preciso

t_{0}

$t_0$ , pero para todos

t^{'}

$t'$ .

Greg Gravitón

@Trimok: Podemos elegir

f (x^{'}, t^{'}) = g (x^{'}) δ (t^{'} - t_{0})

$f(x',t') = g(x')\delta(t'-t_0)$ para modelar las condiciones iniciales en un momento

t_{0}

$t_0$ . En general, el propagador de una fuerza impulsora

f

$f$ siempre se puede utilizar para construir el propagador para las condiciones iniciales

ψ (x, t_{0})

$ψ(x,t_0)$ .

Trimok

"¡Esto va en contra de mi intuición de que una PDE lineal de primer orden debería depender directamente de los valores iniciales, y no de sus derivados de tiempo y espacio!" . De hecho, uno siempre puede reescribir una expresión con primeras derivadas explícitas. Tomemos por ejemplo la ecuación diferencial

\frac{d ψ (x)}{d x} = f (x)

$\frac{d\psi(x)}{dx} = f(x)$ . La solucion es

ψ (x) = ψ (0) + \int_{0}^{x} d u f (u)

$\psi(x) = \psi(0)+\int_0^x du f(u)$ . Sin embargo, con una integración por partes, esto podría escribirse

ψ (x) = ψ (0) + x f (x) - \int_{0}^{x} d u u f^{'} (u)

$\psi(x) = \psi(0)+ xf(x) -\int_0^x du ~u ~f'(u)$ , o incluso

ψ (x) = ψ (0) + x f (0) + x \int_{0}^{x} d u f^{'} (u) - \int_{0}^{x} d u u f^{'} (u)

$\psi(x) = \psi(0)+ xf(0) + x\int_0^x du ~f'(u) -\int_0^x du ~u ~f'(u)$

Trimok

Su fórmula es correcta. También puede usar una forma alternativa del propagador retardado escalar sin masa , esto le dará:

ψ (x) = (σ . \partial) \int d^{4} x^{'} \frac{1}{2 π} δ ((x - x^{'})^{2}) θ (x_{0} - x_{0}^{'}) f (x^{'})

$\psi(x) = (\sigma.\partial)\int d^4x' \frac{1}{2 \pi} \delta((x-x')^2)\theta(x_0 - x'_0)f(x')$

Greg Gravitón

@Trimok: Sin embargo, mover la diferenciación bajo el signo integral significaría que el propagador involucra la derivada de una función delta, lo que me parece extraño. Usted argumenta que "involucrar a un derivado" no es una propiedad invariable del propagador, lo cual no puedo negar. Una forma de formalizarlo es preguntar si la solución cambia cuando agregamos una constante a la función

f \to f + C

$f \to f + C$ . (Pero esto puede estar prohibido debido a las condiciones de contorno).

Respuestas (2)

Propagador de la ecuación de Dirac en el espacio real

Estás sumando en todo $t'$ , por lo que su expresión no depende de un valor de la derivada temporal de $f$ en un tiempo inicial preciso $t_0$ , pero para todos $t'$ .
@Trimok: Podemos elegir $f(x',t') = g(x')\delta(t'-t_0)$ para modelar las condiciones iniciales en un momento $t_0$ . En general, el propagador de una fuerza impulsora $f$ siempre se puede utilizar para construir el propagador para las condiciones iniciales $ψ(x,t_0)$ .
"¡Esto va en contra de mi intuición de que una PDE lineal de primer orden debería depender directamente de los valores iniciales, y no de sus derivados de tiempo y espacio!" . De hecho, uno siempre puede reescribir una expresión con primeras derivadas explícitas. Tomemos por ejemplo la ecuación diferencial $\frac{d\psi(x)}{dx} = f(x)$ . La solucion es $\psi(x) = \psi(0)+\int_0^x du f(u)$ . Sin embargo, con una integración por partes, esto podría escribirse $\psi(x) = \psi(0)+ xf(x) -\int_0^x du ~u ~f'(u)$ , o incluso $\psi(x) = \psi(0)+ xf(0) + x\int_0^x du ~f'(u) -\int_0^x du ~u ~f'(u)$
Su fórmula es correcta. También puede usar una forma alternativa del propagador retardado escalar sin masa , esto le dará: $\psi(x) = (\sigma.\partial)\int d^4x' \frac{1}{2 \pi} \delta((x-x')^2)\theta(x_0 - x'_0)f(x')$
@Trimok: Sin embargo, mover la diferenciación bajo el signo integral significaría que el propagador involucra la derivada de una función delta, lo que me parece extraño. Usted argumenta que "involucrar a un derivado" no es una propiedad invariable del propagador, lo cual no puedo negar. Una forma de formalizarlo es preguntar si la solución cambia cuando agregamos una constante a la función $f \to f + C$ . (Pero esto puede estar prohibido debido a las condiciones de contorno).

mattia · Answer 1

tal vez ya lo hayas pensado, pero te preguntaré de todos modos: ¿por qué no intentas abordar directamente el operador diferencial? $\partial_t -\vec{\sigma}\cdot\nabla$ ? Es un PDE de primer orden, por lo que obtendría algo así:

ψ (X, t) = ψ_{0} (X, t) + \int GRAMO (X, X^{'}, t, t^{'}) F (X^{'}, t^{'}) d X^{'} d t^{'} (1)

$\psi(x,t) = \psi_0(x,t) + \int G(x,x',t,t')f(x',t')\, dx'dt' \qquad \text{(1)}$ Dónde

ψ_{0} (x, t)

$\psi_0(x,t)$ es una solución de la ecuación homogénea y

G (x, x^{'}, t, t^{'})

$G(x,x',t,t')$ es la solucion de

(\partial_{t} - \vec{σ} \cdot \nabla) GRAMO (X, X^{'}, t, t^{'}) = d (X - X^{'}) d (t - t^{'})

$(\partial_t -\vec{\sigma}\cdot\nabla)G(x,x',t,t') = \delta(x-x')\delta(t-t')$

Ahora, se puede demostrar que la ecuación 1 se puede convertir en la forma (ver Ref.):

ψ (X, t) = ψ_{0} (X, t) + \int d X^{'} \int_{- \infty}^{t} {GRAMO}_{1} (X, X^{'}, t, t^{'}) F (X^{'}, t^{'}) d t^{'} (2)

$\psi(x,t) = \psi_0(x,t) + \int dx' \int_{-\infty}^t G_1(x,x',t,t')f(x',t')\, dt' \qquad \text{(2)}$

dónde $G_1(x,x',t,t')$ es un objeto que satisface:

(\partial_{t} - \vec{σ} \cdot \nabla) {GRAMO}_{1} (X, X^{'}, t, t^{'}) = 0

$(\partial_t -\vec{\sigma}\cdot\nabla)G_1(x,x',t,t') = 0$

y por lo tanto debería ser menos torpe para resolver.

Referencia: Método matemático de física clásica y cuántica, FW Byron y RW Fuller. Capítulo 7: Funciones de Green dependientes del tiempo: primer orden

Creo que hay un problema en tus ecuaciones. (1) y (2) son exactamente iguales (solo el índice $_1$ cambios), por lo que no pueden ser ambos verdaderos. creo que te olvidas de $'$ de $f(x',t')$ en la ecuación (1).
Tienes toda la razón en lo que respecta a los primos, también tienes razón en lo que respecta a las integrales, ¡debería haber especificado los extremos de integración! Por favor vea la Edición
Es $G_1(x,x',t,t)=\delta(x-x')$ ? De lo contrario, no entiendo cómo eq. (2) puede funcionar...
Más precisamente: $\lim_{t'\rightarrow t} G_1(x,x',t,t') = \delta(x-x')$
Entiendo que lo que estoy buscando es una fórmula explícita para la función de Greens $G_1(x,x;t,t')$ . Tengo la impresión de que se trata de la derivada de un $\delta$ -función, y solo quiero asegurarme de que esto sea correcto comparándolo con una referencia explícita. (Todos los libros de texto que he consultado solo calculan la transformada de Fourier $G_1(k;t,t')$ ).

Greg Gravitón · Answer 2

El verdadero propagador espacial del fermión masivo de Dirac en $3+1$ Las dimensiones se calculan en el libro Quantum Electrodynamics de R. Feynman (Conferencia 17, página 84 en la edición vinculada a).

El resultado es muy similar al indicado en la pregunta: primero resuelva la ecuación de onda, luego diferencie la solución con el operador de Dirac nuevamente. En particular, Feynman calcula el propagador de la ecuación de Klein-Gordon en el espacio real:

I_{+} (t, X) = \int \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{Exp [- i (pag \cdot X)]}{{pag}^{2} - {metro}^{2} + i ε} = - (4 π)^{- 1} d (s^{2}) + \frac{metro}{8 π s} H_{1}^{(2)} (metro s)

$I_+(t,x) = ∫ \frac{d^4p}{(2π)^4} \frac{\exp[-i(p\cdot x)]}{p^2 - m^2 + i\varepsilon} = -(4π)^{-1} \delta(s^2) + \frac{m}{8πs}H_1^{(2)}(ms)$

Aquí, $s = +(t^2-x^2)^{1/2}$ para $t>|x|$ y $s = -i(x^2-t^2)^{1/2}$ para $t < |x|$ . Además, $\delta(s^2)$ es una función delta y $H^{(2)}_1(ms)$ es una función de Hankel . Entonces, tienes que diferenciar la función delta, de hecho.

Sin embargo, tenga en cuenta que para ser físicamente significativo, el propagador $G(x_2,t_2;x_1,t_1)$ para la ecuación de Dirac solo debe tener en cuenta los estados de energía positivos para el marco de tiempo retardado $t_2 - t_1 > 0$ , mientras que la parte avanzada $t_2 - t_1 < 0$ sólo se deben tener en cuenta los estados propios de energía negativa (agujeros).

La fórmula citada de Feynman es la del propagador de Feynman en lugar del propagador retardado . Para la pregunta inicial, uno necesita reemplazar $I_+(t,x)$ por la expresión del propagador retardado (y luego derivar la solución con el operador de Dirac, y luego tender la masa a cero). Sería útil tener una referencia para el resultado final.

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