Estructura del campo de fermiones en teorías de norma no abeliana

Estoy tratando de comprender la estructura de los fermiones en teorías de calibre no abelianas. Descargo de responsabilidad: mi pregunta puede ser muy trivial (sospecho que la respuesta podría ser simplemente "un cambio de base"), pero estaría agradecido si alguien pudiera arrojar algo de luz si hay algo más profundo al acecho a la vuelta de la esquina.

Consideremos el Lagrangiano de Yang-Mills

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} (F_{\mu \nu}^a)^2 + \bar{\psi}(i \gamma^\mu D_\mu -m)\psi$$

dónde$D_\mu = \mathbf{1} \partial_\mu - i g A_\mu^a t^a$, entonces$\psi$necesita tener ambos Dirac ($\mu$) y color (a) grados de libertad. Me confundo cuando cambio el enfoque regular del problema y no estoy seguro de si es un problema real o si solo estoy complicando o pensando demasiado en esto.

Por ejemplo, consideremos$SU(N)$YM donde los generadores$t^a$son$N \times N$matrices, y hay$N^2-1$de ellos. Por lo tanto, la derivada covariante$D_\mu$es un$N \times N$matriz y el índice$a$arriba atropella$N^2-1$valor.

Cuando empezamos por contraer$D_\mu$con el$\gamma$-matrices,

$$(\gamma^\mu D_\mu)_{ij} = \delta_{ij} \gamma^\mu \partial_\mu - i g (\gamma^\mu A_\mu^a) (t^a)_{ij}$$

uno obtiene un$N \times N$matriz de$4 \times 4$matrices. El correspondiente$4N$El objeto componente sobre el que actúa esta matriz es el$N$Espinores de Dirac dispuestos en columna.

Sin embargo, observe que si comenzamos de la siguiente manera:

$$(D_\mu \psi)_i = \partial_\mu \psi_i - i g A_\mu^a (t^a)_{ij} \psi_j$$

obtenemos que la derivada covariante actúa sobre$\Psi \equiv (\psi_1, \cdots, \psi_N)$. Por lo que sabemos,$\Psi$no tiene estructura de espinor ya que aún no hemos contraído con las matrices gamma.

Contratación con el$\gamma^\mu$, uno obtiene un$4 \times 4$matriz de$N \times N$matrices que codifican la misma información que antes. Esta vez, parecería que solo tenemos un espinor de Dirac, donde cada componente es un$N$singlete valorado.

Sin embargo, parece que la matriz$\gamma^\mu D_\mu$y el$4N$-El espinor componente se ve diferente, aunque todo lo que hicimos fue cambiar el orden en el que construimos las cosas.

En el primer caso, obtenemos$N$espinores correspondientes a los$N$colores de la representación adjunta. En$SU(3)$, esto sería como decir que efectivamente tenemos 3 espinores que corresponden a los colores rojo/azul/verde como$(\psi_R, \psi_B, \psi_G)$. En el segundo caso, esta identificación falla ya que solo tenemos un objeto grande y complicado.

¿Qué salió mal? ¿Es esta diferencia simplemente un cambio de base para$\psi$? ¿Hay algo relevante que podamos aprender al observar el Lagrangiano YM de estas dos formas diferentes?

Además, en el primer caso, cuando conseguimos$N$espinores, estoy confundido acerca de su significado. Siempre supuse que en QCD,$\psi$correspondería a un quark, que es un fermión en sí mismo. ¿Significa que los quarks son fermiones que pueden describirse mediante campos fermiónicos/grados de libertad que llamamos color?