Gravedad entre dos masas desiguales. ¿Se mueven ambas masas?

En todos los casos, los dos objetos se mueven uno hacia el otro. De hecho, experimentan exactamente la misma fuerza gravitacional. Sin embargo, debido a que la aceleración es igual a la fuerza sobre la masa

que fuerzas iguales hacen que el objeto más pesado acelere mucho menos que el más ligero. Pero técnicamente, la Tierra se mueve muy levemente hacia ti cuando saltas. Sin embargo, primero se aleja un poco de ti porque para saltar tienes que empujarlo. Cuando aterrizas, vuelve a su posición original.

Los dos objetos se encontrarán en su centro de gravedad. Es decir, si, por ejemplo, una masa es el doble de grande que la otra, el punto de encuentro estará a una cuarta parte del camino de la masa pesada a la ligera. En general es el punto donde

No podemos mover la Tierra saltando indefinidamente porque el impulso del salto cancela exactamente el impulso de la gravedad. No hay movimiento neto. Esta es la misma razón por la que no puedes mover un bote sentándote adentro y pateando las paredes.

Hay una atracción mutua de la gravedad, y generalmente solo consideramos el objeto más pequeño aquí en la tierra porque la tierra es tan masiva que la aceleración de la tierra es insignificante. Esto es porque$a = F/m$, y con igual$F$entre los dos objetos, la aceleración escalará como$a\propto 1/m$. Para la tierra, esto deja$a$ridículamente pequeño, pero técnicamente distinto de cero.

Hay algunos buenos casos de ejemplo de ambos objetos moviéndose uno hacia el otro, y un caso particular es el sistema Plutón-Caronte. En este caso, Plutón es más masivo que Caronte, pero ambos objetos están en órbita mutua y constantemente "cayendo" uno hacia el otro. Esto se puede observar en base al hecho de que ambos objetos orbitan un punto fuera de cualquiera de las masas como se ve a continuación (imagen disponible públicamente de wikipedia):

Ahora, estos objetos tienen un momento angular, por lo que nunca se encontrarán, pero creo que es un buen ejemplo de cómo una masa pequeña afecta a una masa más grande bajo la influencia de la gravedad.

¿La masa más grande ALGUNA VEZ se mueve hacia la masa más pequeña?

Sí.

$F = KMm/r^2$

$M*a_{M}=F$

$m*a_{m}=F$

Como ves cuanto menor es la masa mayor es la aceleración y en consecuencia mayor la distancia recorrida en un tiempo dado t .

Si lo anterior es cierto, ¿podemos técnicamente mover la Tierra por nosotros (población humana) saltando indefinidamente?

No.

Cada vez que saltamos, suponiendo que todos estemos en el mismo lugar y saltemos de forma sincronizada, la tierra irá un poco en sentido contrario pero volverá y cuando aterricemos de nuevo la tierra estará en la misma posición en la que fue antes de que saltáramos.

Para la explicación completa, debe agregar, a las ecuaciones anteriores, la conservación del momento y resolver el sistema.

$M*v_{M} = m*v_{m}$(conservación del impulso para el momento en que saltamos)

También puede usar el hecho ya demostrado de que el centro de masa, para un sistema de N masas, no se mueve en el tiempo si no existe una fuerza externa. En el caso del sistema tierra - personas, no hay fuerza externa y no importa dónde estemos y cómo saltemos, el centro de masa de todas las personas + tierra siempre permanecerá en el mismo lugar.

sí, la tierra acelerará hacia ti, sin embargo, la aceleración de la tierra será tan pequeña para todos los efectos prácticos que normalmente no la consideras. La aceleración de la Tierra es pequeña porque las fuerzas mutuas entre usted y la Tierra son las mismas, pero las masas son diferentes, por lo que esto da como resultado aceleraciones diferentes (recuerde:$F=ma$). Ahora, si pudieras poner a todos los humanos en su lugar y saltar, ¿aceleraría esto la tierra de una manera notable? Supongamos que hay 7 mil millones de humanos, cada uno con un promedio$100~\text{kgm}\;,$la masa total sera$7 \space 10^{11}~\text{kg}\; .$La aceleración de la tierra será proporcional$GM_\text{humankind}/R_\text{earth }^2$que es aproximadamente$0.007~\text{m}/\text{s}^2$, que es pequeño pero aún medible.