¿La segunda ley de Kepler implica que el momento angular es constante?

Question

¿La segunda ley de Kepler implica que el momento angular es constante?

Sha Vuklia

Mi libro de texto dice que podemos inferir de la segunda ley de Kepler que el momento angular se conserva para un planeta y, por lo tanto, la gravedad es una fuerza central.

Ahora entiendo cómo el momento angular constante implica que la gravedad es una fuerza central. Sin embargo, no veo cómo sabemos que se conserva el momento angular, según la segunda ley de Kepler.

Mi libro de texto describe la segunda ley de Kepler de la siguiente manera:

\int_{t_{1}}^{t^{2}} r v_{ϕ} d t = C \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t = C (t_{2} - t_{1}),

$\int_{t_1}^{t^2}rv_\phi\,\mathrm dt=C\int_{t_1}^{t_2}\mathrm dt=C(t_2-t_1),$ dónde

C

$C$ es una constante

Vemos eso $rv_\phi=r^2\dot\phi=C$ . También sabemos que $|\vec{L}|=|\vec{r}\times\vec{p}|=rmv\sin\theta=mr^2\omega\sin\theta.$

Correcto, entonces podemos suponer $m$ es constante, y $r^2\omega$ también, por la segunda ley de Kepler. Qué pasa $\theta$ ¿aunque? Como sabemos $\theta$ es constante?

Para órbitas circulares, puedo ver que $\theta=\frac{1}{2}\pi$ , pero ¿qué hay de las órbitas elípticas?

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Está bien, creo que lo tengo. Estamos considerando un objeto sólido (planeta) que gira alrededor de un eje de rotación fijo, por lo que técnicamente deberíamos usar $\vec L=I\vec\omega$ . Pero supongo que podemos aproximar el momento de inercia de un planeta como $mr^2$ , considerando las dimensiones espaciales con las que estamos trabajando. Y por lo tanto obtenemos $|\vec L|=I|\vec \omega|=mr^2\omega=$ constante. Dado que un planeta no 'gira' repentinamente, también podemos asumir la dirección de $\vec \omega$ siendo constante.

Abhijeet Melkani

v

$v$ no es igual

r ω

$r\omega$ . También hay un componente radial a la velocidad. Tenías razón hasta el penúltimo paso. Después de eso, le sugiero que dibuje dos componentes para el vector de velocidad. Uno en la dirección de la posición y otro perpendicular. La componente paralela se cancela en el producto vectorial y la componente perpendicular es igual

r ω

$r\omega$ (No

s i n θ

$sin\theta$ aquí porque esta componente es exactamente perpendicular).

Sha Vuklia

@A.Melkani Ahhh, ¡genial! Increíble, muchas gracias. Entonces obtenemos:

| \vec{L} | = metro | \vec{r} \times \vec{v} | = metro | \vec{r} \times [{\vec{v}}_{ϕ} + {\vec{v}}_{r}] | = metro | \vec{r} \times {\vec{v}}_{ϕ} | + metro | \vec{r} \times {\vec{v}}_{r} | = metro | \vec{r} \times {\vec{v}}_{ϕ} | = metro r v_{θ} = metro r^{2} ω

$|\vec L|=m|\vec r\times\vec v|=m|\vec r\times[\vec v_\phi+\vec v_r]|=m|\vec r\times\vec v_\phi|+m|\vec r\times\vec v_r|=m|\vec r\times\vec v_\phi|=mrv_\theta=mr^2\omega$

Abhijeet Melkani

Sí, y de hecho el

C

$C$ en sí mismo es

r^{2} ω

$r^2\omega$ como bien has mencionado. Entonces, el momento angular es

m * C

$m*C$ que se conserva como ambas cantidades se conservan.

Respuestas (2)

¿La segunda ley de Kepler implica que el momento angular es constante?

$v$ no es igual $r\omega$ . También hay un componente radial a la velocidad. Tenías razón hasta el penúltimo paso. Después de eso, le sugiero que dibuje dos componentes para el vector de velocidad. Uno en la dirección de la posición y otro perpendicular. La componente paralela se cancela en el producto vectorial y la componente perpendicular es igual $r\omega$ (No $sin\theta$ aquí porque esta componente es exactamente perpendicular).
@A.Melkani Ahhh, ¡genial! Increíble, muchas gracias. Entonces obtenemos: $| \vec{L} | = metro | \vec{r} \times \vec{v} | = metro | \vec{r} \times [{\vec{v}}_{ϕ} + {\vec{v}}_{r}] | = metro | \vec{r} \times {\vec{v}}_{ϕ} | + metro | \vec{r} \times {\vec{v}}_{r} | = metro | \vec{r} \times {\vec{v}}_{ϕ} | = metro r v_{θ} = metro r^{2} ω$ $|\vec L|=m|\vec r\times\vec v|=m|\vec r\times[\vec v_\phi+\vec v_r]|=m|\vec r\times\vec v_\phi|+m|\vec r\times\vec v_r|=m|\vec r\times\vec v_\phi|=mrv_\theta=mr^2\omega$
Sí, y de hecho el $C$ en sí mismo es $r^2\omega$ como bien has mencionado. Entonces, el momento angular es $m*C$ que se conserva como ambas cantidades se conservan.

Diracología · Answer 1

La segunda ley de Kepler establece que el radio vector del Sol al planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. En otras palabras, la tasa de cambio $\frac{dA}{dt}$ es constante Considere la siguiente figura,

El elemento are es $dA=\frac{1}{2}r^2d\theta$ entonces en el intervalo de tiempo $dt$ tenemos

\frac{d θ}{d t} = \frac{2}{r^{2}} \frac{d A}{d t},

$\frac{d\theta}{dt}=\frac{2}{r^2}\frac{dA}{dt},$ Por otro lado, la magnitud del momento angular (con respecto a

O

$O$ ) es

L = m r^{2} \dot{θ}

$L=mr^2\dot\theta$ . De este modo,

L = 2 metro \frac{d A}{d t},

$L=2m\frac{dA}{dt},$ que es constante.

Sin embargo, esto no prueba que el vector $\vec L$ es constante Para demostrar que el vector no cambia de dirección, se debe asumir la primera ley de Keppler (lo que implica que la órbita se encuentra en un plano) o que la fuerza es central (lo que implica automáticamente la conservación del momento angular).

david hamen · Answer 2

Mi libro de texto describe la segunda ley de Kepler de la siguiente manera:
$\int_{t_{1}}^{t^{2}} r v_{ϕ} d t = C \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t = C (t_{2} - t_{1}),$ $\int_{t_1}^{t^2}rv_\phi\,\mathrm dt=C\int_{t_1}^{t_2}\mathrm dt=C(t_2-t_1),$ dónde $C$ es una constante

Eso solo dice que la magnitud del momento angular es constante.

tu libro de texto $v_\phi$ es la componente del vector velocidad que es normal al vector radial: $\vec v = v_r \hat r + v_\phi \hat \phi$ . De este modo $\vec L = m \vec r \times \vec v = m r v_\phi\,\hat r \times \hat \phi$ . desde desde $||\hat r \times \hat \phi|| \equiv 1$ , la magnitud del vector de momento angular de un planeta es $||\vec L|| = m r v_\phi$ . Como la masa es constante y como $\int_{t_1}^{t_2} r v_\phi dt = C(t_2-t_1)$ , la magnitud del vector de momento angular es constante.

Para llegar a que el vector de momento angular sea constante, necesitamos saber que su dirección también es constante. Esto es consecuencia de que las órbitas son planas, lo cual es parte de la primera ley de Kepler.

¿La segunda ley de Kepler implica que el momento angular es constante?

Sha Vuklia

Abhijeet Melkani

Sha Vuklia

Abhijeet Melkani

Respuestas (2)

Diracología

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