Problema de Combinatoria (Bajar de un ascensor)

en cuantos 3 machos y 2 las mujeres pueden bajar de un ascensor en un edificio, teniendo 5 pisos, de modo que en cualquier piso, no se permite una pareja solitaria de hombres y mujeres ?

Mi intento:

Puesto que hay 5 pisos para que cualquier persona se baje a formas totales sería 5 5 .

Para construir un par solitario, uno tiene 3 opciones para el hombre y 2 opciones para la mujer, en total 3 ⋅ 2 2 maneras (ignorando el orden). Y el resultado 2 machos y 1 hembra y un par tienen 5 ⋅ 4 3 maneras. (Dado que otras personas no pueden bajarse en el piso, la pareja se va).

Pero habríamos contado en exceso cuando habría 2 pares que pueden bajarse en 5 ⋅ 4 ⋅ 3 maneras ( 2 parejas y un macho). Y construimos esto en 3 ⋅ 2 2 para el primer par y 2 ⋅ 1 2 para el segundo par, totalizando 4 maneras.

Entonces la respuesta debería ser 5 5 − 3 ⋅ 5 ⋅ 4 3 + 4 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3

Pero esto es completamente incorrecto y la respuesta correcta es 1973 .

¿Alguien podría señalar errores en mi método de conteo y sugerir una forma adecuada de proceder?

Muchas gracias.

¿Puede proporcionar más contexto o al menos una explicación sobre lo que está sucediendo? 1. En la 5ª planta 3m+2f entra en el ascensor, ¿verdad? 2. Cualquiera puede salir del ascensor en cualquier lugar, a menos que quede 1f+1m en el ascensor, ¿verdad? 3. ¿Hay otras limitaciones, como que alguien no pueda entrar en el quinto piso? 4. ¿El ascensor va solo hacia abajo? 5. ¿Son las personas distinguibles? (habría 32 4 maneras de salir del ascensor a lo sumo entonces, no 5 5 ) Gracias. Probaría la recursividad desde el primer piso.
@AlexeyBurdin: Si cada uno de 5 personas distinguibles pueden bajarse en cualquiera de 5 pisos, el número de posibilidades sin restricciones es 5 5 .
No puedes ignorar el orden al elegir un macho y una hembra. Deberías 3 ⋅ 2 en lugar de 3 ⋅ 2 2 .
@ user35508 el argumento de que "un par se va" o "se baja" no tiene sentido para mí, también puede "dividirse". La restricción es "en un momento del tiempo no hay pareja sola dentro del ascensor", pero no se dice que una pareja deba salir a la una. Gracias. Considere la simulación de Python con el valor de 1973 en los comentarios de la respuesta de Brian M. Scott también.
Por lo tanto, hay al menos dos formas de leer el problema: ¿cuál es el número de formas de dejar un ascensor que desciende en un 5 edificio de pisos por 3 hombres y 2 mujeres, entraron en 5 th piso si 1) ninguna pareja de diferente sexo puede _dejar_ el ascensor solo (con la respuesta de Brian M. Scott de 1565 ) o 2) ninguna pareja de distinto sexo puede quedarse sola dentro del ascensor (con la respuesta de 1973 con la simulación de python mencionada anteriormente)
@AlexeyBurdin: Excepto que obtengo una cifra mucho más pequeña que la tuya cuando uso tu interpretación. Borraré mi respuesta hasta que podamos resolver las diferencias sustanciales restantes en nuestros cálculos para esa interpretación.
En mi humilde opinión, no debe eliminarlo, porque contiene la lógica de considerar ilegal solo mf quedarse solo dentro del ascensor (sin importar qué pares o singletons dejen, una puede dejar también) en la parte añadida que (lógica) soy Falta producir una respuesta con el valor total demf 1973 . Gracias.
@BrianM.Scott, gracias por sus brillantes ideas, finalmente puedo llegar a una respuesta completa ahora (no sin una simulación de Python, por supuesto)

Respuestas (1)

Correcto, es el principio de inclusión-exclusión al final, pero no de esa manera.
Escribiré la solución para la respuesta de 1973 , donde las formas inaceptables (fuera del total sin restricciones 5 5 ) son sólo cuando un hombre se queda solo con una mujer en el ascensor de la k th piso y tal vez debajo (esta idea contribuye a la respuesta eliminada de Brian M. Scott y dice "también debemos excluir todas las formas en que un hombre y una mujer son los dos últimos ocupando el ascensor, incluso si se bajan en diferentes pisos" ).
Podemos elegir los dos que quedan en 2 ⋅ 3 caminos y los pisos en los que se bajan k 2 maneras. Así que digamos que todas las personas que quedaron fuera excepto la pareja que quedó en 5 a ( k + 1 ) pisos inclusive y k Este es el primer piso, contando de arriba a abajo, donde un hombre y una mujer quedan solos.
Está claro que el número total de formas en que 3 las personas distinguidas pueden dejar 5 − k pisos es ( 5 − k ) 3 pero debemos excluir los casos en que todos ellos se fueron exactamente antes (es decir, más arriba que) ( k + 1 ) th piso, por lo que ahora aplicamos el principio de incusión-exclusión para obtener 1 3 para k = 4 , 2 3 − 1 3 = 7 para k = 3 , 3 3 − 2 3 = 19 para k = 2 y 4 3 − 3 3 = 37 para k = 1 ,
con el número total de casos excluidos 6 ∑ k = 1 4 k 2 ( ( 5 − k ) 3 − ( 4 − k ) 3 ) = 1152 la respuesta es

3125 − 1152 = 1973.

Lo siento por la respuesta tardía. Ahora entiendo que estaba interpretando el problema de otra manera como se menciona en los comentarios e incluso resolviendo eso mal. Creo que ahora puedo calcular la respuesta a ambos... Muchas gracias por su brillante enfoque.
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