Problema al conciliar el impulso relativista con las relaciones de Hamilton-Jacobi: ¿objeto masivo yendo a la velocidad de la luz (imaginaria)?

Parece que no puedo entender la extraña paradoja que surge de mis intentos de conciliar las dos declaraciones físicas descritas en el título. Estoy seguro de que es un error tonto que cometí en el proceso para causarlo, pero no puedo identificar por qué, e incluso mis mejores conjeturas sobre el tipo de error no me parecen probables de generarlo. Realmente agradecería cualquier idea/explicación/corrección/aclaración.

LA PARADOJA

1. En Relatividad especial, suponiendo por simplicidad un cuerpo libre, masivo y puntiforme que se mueve a lo largo de una sola coordenada x (por lo tanto, sin cuadripotenciales, sin gravedad, etc.), tengo esta ecuación para el momento lineal relativista a lo largo de esa coordenada en términos de factor gamma (dependiendo en general de la velocidad), masa en reposo y velocidad: $$p_x=\gamma m v_x$$
2. Por supuesto, en mi marco de referencia la velocidad es, trivialmente: $$v_x=\frac{\partial x}{\partial t}$$
3. Puedo usar la equivalencia masa-energía para reemplazar el resto de masa por gamma con la energía total, usando el cuadrado de la velocidad de la luz como factor de proporcionalidad: $$p_x=\frac{E v_x}{c^2}$$
4. Si quiero resolver la velocidad, obtengo trivialmente: $$v_x=\frac{p_x c^2}{E}$$
5. De las relaciones (clásicas) de Hamilton-Jacobi (que todas las fuentes que he encontrado hasta ahora confirman que también pueden aplicarse a la Relatividad especial, siempre que el hamiltoniano también incluya el término de energía en reposo) puedo encontrar el hamiltoniano$H$como (menos) la derivada temporal parcial de la función principal de Hamilton$S$(análogo a la acción): $$H=-\frac{\partial S}{\partial t}$$
6. En un marco de referencia simple que no depende explícitamente del tiempo, puedo identificar este hamiltoniano con la energía total del cuerpo: $$E=-\frac{\partial S}{\partial t}$$
7. Puedo usar las relaciones de Hamilton-Jacobi para el impulso a lo largo$x$también, como una derivada coordenada parcial de la misma$S$(en el caso relativista, el momento mecánico y canónico son los mismos ya que estoy tomando un caso simple sin potenciales): $$p_x=\frac{\partial S}{\partial x}$$
8. Si trato de hacer coincidir 4 con 6 y 7, obtengo: $$v_x=-\frac{\frac{\partial S}{\partial x}}{\frac{\partial S}{\partial t}}c^2$$
9. Que emparejar con 2 en condiciones de "buen comportamiento" (más sobre esto más adelante) debería simplificarse como: $$v_x=-\frac{\partial t}{\partial x}c^2=-\frac{1}{v_x}c^2$$
10. Esto es bastante alarmante: mientras que dimensionalmente la ecuación todavía está bien (el factor de la velocidad de la luz al cuadrado fija las unidades), cuantitativamente hablando estoy equiparando una velocidad con un recíproco negativo de una velocidad, tanto que si trato de resolver obtengo : $$v_x=\pm \sqrt{-c^2}=\pm i c$$

No me gusta el hecho de que los objetos masivos puedan viajar a la velocidad de la vida, mucho menos que siempre deben ir a la velocidad de la luz, ¡y mucho menos que en realidad es una velocidad imaginaria de la luz! Esto parece bastante malvado.

ALGUNAS POSIBLES (pistas para) SOLUCIONES

Solo para ahorrar algo de tiempo a los amables que respondieron, enumeré aquí, en orden de probabilidad creciente (es decir, según yo), las cosas en las que posiblemente me equivoqué:

• Podría haberme equivocado con el resto/invariante frente a las cantidades relativistas/totales (sé que muchas personas entienden$E=mc^2$incorrecto, comparando la energía total con la masa en reposo sin la gamma en casos no estacionarios), pero realmente no parece que lo hice; Además, realmente me cuesta ver cómo un error similar podría resolver la "paradoja", ya que no parece que multiplicar o dividir por gamma una vez mejoraría mucho.
• Podría haberme equivocado al considerar el hamiltoniano en 5 como la energía total en 3 (después de todo, admito que estoy usando un resultado clásico en una configuración relativista), pero hasta ahora todas las fuentes confirmaron que en configuraciones simples ese debería ser exactamente el caso. ; Además, realmente me cuesta ver cómo un error similar podría resolver la "paradoja", ya que no parece que sumar o restar una energía de descanso mejoraría mucho.
• Podría haberme equivocado en 9, "simplificando" diferenciales y derivadas parciales de una manera temeraria (no está permitido, en general), pero mientras que por un lado creo que en estos casos específicos la forma$S$depende de$x$y$t$me permite hacer eso, por otro lado, simplemente podría deshacerme de los diferenciales que se integran en un intervalo de tiempo finito, ya que para un cuerpo aislado la energía es una constante de movimiento (esto es lo que quise decir arriba con "suficientemente bien comportado" condiciones); Además, realmente me cuesta ver cómo un error similar podría resolver la "paradoja", ya que no parece que agregar alguna constante de integración mejore mucho.
• Ya podría haberme equivocado en 1, usando la simple "masa relativista" para el momento lineal (como sugieren casi todas las fuentes ), en lugar de la "masa longitudinal" (en oposición a "transversal"). Curiosidades divertidas: la fuente vinculada corrige la definición de impulso precisamente para arreglar una "paradoja" similar con el formalismo de Lagrange. Esto podría ser cierto (y la mayoría de las fuentes sobre el momento relativista podrían estar equivocadas), pero aún así, otro factor gamma al cuadrado no mejora tanto la situación, ya que: $$p_x=\gamma^3 m v_x$$ $$v_x=\frac{p_x c^2}{E \gamma^2}=-\frac{c^2}{v_x \gamma^2}=-\frac{c^2}{v_x} (1-(\frac{v_x}{c})^2)=v_x-\frac{c^2}{v_x}$$ $$v_x^2=-c^2 v_x^2$$ $$c=\pm i$$ lo cual es…bueno…no muy tranquilizador (¡hasta el punto de que realmente espero que me digas que me quede con la masa transversal en su lugar)!