Probabilidad marginal y conjunta en mecánica cuántica

Esto está muy bien explicado en "Breuer, Petruccione: Theory of Open Quantum Systems" (sección 2.1.4) y realmente no sé cómo podría explicarse mejor. Me limitaré a dar una breve descripción general de su línea de razonamiento. La idea básica es la siguiente: Dadas dos variables aleatorias clásicas$R_1$y$R_2$, podemos calcular valores esperados como$\langle R_1 R_2 \rangle = \langle R_2 R_1 \rangle$de su función de distribución conjunta. Mecánicamente cuántica, si$[\hat R_1, \hat R_2] \neq 0$, eso obviamente es más problemático.

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Permítanme primero introducir algo de notación. Un observable$R$en QM corresponde a un operador autoadjunto$\hat R$con representación espectral

$$\hat R = \int_{-\infty}^\infty r\, dE(r) ,$$ dónde $dE(r)$es la medida de valor espectral (por ejemplo, en dimensiones finitas $dE(r) = \sum_{k=1}^N \delta(r - \lambda_k) | k \rangle\langle k |\, dr$).

Mientras estemos considerando solo un observable, podemos describir el resultado de una medición de$R$si el sistema está en el estado$|\psi\rangle$como una variable aleatoria clásica. La función de distribución acumulativa de esa variable aleatoria es

$$F_R(r) \equiv P(R \leq r) = \langle \psi | E(r) | \psi \rangle = \int_{-\infty}^r \langle \psi | dE(r') | \psi \rangle .$$

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Pasemos ahora al caso en el que tenemos dos variables aleatorias clásicas$R_1$y$R_2$. Su función de distribución conjunta es

$$F(r_1, r_2) = P(R_1 \leq r_1 \text{ and } R_2 \leq r_2) .$$ Conocimiento de $F(r_1, r_2)$es equivalente al conocimiento de $$F_{\vec k \cdot \vec R}(r) = P(k_1 R_1 + k_2 R_2 \leq r) ,$$ porque la función característica $G(k_1, k_2) = \int_{\mathbb R^2} \mathrm e^{\mathrm i \vec k \cdot \vec r} dF(\vec r)$se puede calcular a partir de $$G(k_1, k_2) = \int_{-\infty}^\infty \mathrm e^{\mathrm i r} dF_{\vec k \cdot \vec R}(r) .$$

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Decimos que dos observables cuánticos tienen una distribución de probabilidad conjunta si hay dos variables aleatorias clásicas tales que

$$F_{\vec k \cdot \vec R}(r) = \langle \psi| E_{\vec k \cdot \hat{\vec R}}(r) |\psi\rangle .$$ Obviamente, la función característica debe ser entonces $$G(k_1, k_2) = \langle\psi| \mathrm e^{\mathrm i \vec k \cdot \hat{\vec R}} |\psi\rangle. \tag{*}$$

El teorema de Nelson establece que dos observables tienen una distribución de probabilidad conjunta si y solo si conmutan. La parte "si" está clara, solo podemos establecer$F(r_1, r_2) = \langle\psi| E_{\hat R_1}(r_1) E_{\hat R_2}(r_2) |\psi\rangle$.

La parte "solo si" es más difícil, pero considere el ejemplo de$\hat Q$y$\hat P$. Calculando la transformada de Fourier de (*), obtenemos que la densidad de probabilidad conjunta es -si la hay- igual a la función de Wigner . Sin embargo, la función de Wigner puede ser negativa y, por lo tanto, no es una densidad de probabilidad.

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Tenga en cuenta que, como se indica en los comentarios a su pregunta, hay funciones positivas$f(q,p)$similar a la función de Wigner tal que$\int f\, dp = |\psi(q)|^2$y$\int f\, dq = |\tilde \psi(p)|^2$. Esto no es una contradicción, porque esas funciones solo producen las distribuciones marginales correctas para$\hat Q$y$\hat P$, no para todos$k_1 \hat Q + k_2 \hat P$.

Mi explicación favorita es a través del Teorema de Bell . Alice y Bob tienen cada uno un cuadro frente a ellos en el que pueden insertar un cero o un uno. Si Alice inserta un cero, obtiene una variable aleatoria$A_0$, y si inserta uno obtiene$A_1$. Si Bob inserta un cero, obtiene una variable aleatoria$B_0$, y si él mete uno ella obtiene$B_1$. Todos estos son$\pm 1$Variables aleatorias de Bernoulli valoradas. La probabilidad de que las salidas de Alice y Bob sean iguales$(-1)^{ab}$dado$a$y$b$es la correlación Bell-CHSH$V$, dónde$a$y$b$son las entradas de Alice y Bob correspondientemente.

El teorema de Bell establece que$V\leq 0.5$para una teoría de variables ocultas locales. Pero en mecánica cuántica,$V$puede ser tan grande como sobre$0.85$, y esto está respaldado por experimentos. ¿Cómo?

Ignorando la metafísica de todo esto,$V\leq 0.5$se sigue de la existencia de una distribución conjunta entre todos los pares y triples de resultados,$A_0$,$A_1$,$B_0$, y$B_1$, como se muestra en:

A. Fine, Variables Ocultas, Probabilidad Conjunta y Desigualdades de Bell , Phys. Rev. Lett. 48, 291 – Publicado el 1 de febrero de 1982.

La violación de la desigualdad de Bell demuestra que tales probabilidades conjuntas no existen, aunque las marginales ciertamente sí.

... ¿Y por qué deberían hacerlo? Cualquiera de las medidas de Alice$A_0$o ella mide$A_1$. Uno es la realidad física, el otro es el camino proverbial no tomado. ¿Qué significado físico tendría una probabilidad conjunta entre dos eventos mutuamente excluyentes?