Principios variacionales: Menisco

Al determinar la forma de un menisco , debemos minimizar la energía por unidad de longitud a lo largo de la dirección perpendicular a la sección transversal del menisco:

mi L = ∫ 0 L d X [ γ 1 + ( ∂ X h ) 2 + 1 2 Δ ρ gramo h 2 ]
dónde h ( X ) es la altura del menisco en X , γ es el factor de tensión superficial y Δ ρ es la diferencia entre las densidades del fluido y el vapor por encima de él.

Entiendo de dónde viene el primer término: es la contribución de energía debido a la tensión superficial. Pero no entiendo cómo se obtiene el segundo término. Parece una contribución de energía potencial gravitacional, pero no sé cómo se llega a esta forma precisa. En particular, no entiendo por qué h es al cuadrado.

Gracias.

Energía potencial elástica
@DavidH: El multiplicador gramo lo hace muy improbable.
@ user23660 Eso fue más como una señal para buscar una fuerza restauradora. Tome su solución a continuación, por ejemplo. No es tan difícil aprender a hacer "ingeniería inversa" en derivaciones como estas simplemente sabiendo lo que necesitas para terminar. Es una forma rápida y sucia de llegar a cuáles deben ser las fuerzas, incluso si no tienes la menor idea de por qué.

Respuestas (1)

De hecho, el segundo término es la energía gravitatoria potencial. La energía gravitacional para un cuerpo continuo podría calcularse como

mi gramo = ∫ cuerpo ρ gramo z d 3 X ,
donde suponemos que la aceleración gravitatoria gramo Sólo tiene z -componente. El 'cuerpo' que tienes en tu problema se estiraría a lo largo L a lo largo de y eje y se encuentra entre las superficies z = 0 y z = h ( X ) . Entonces la integral volumétrica se reduce a:
mi gramo = ∫ 0 L d y ∫ X 1 X 2 ( ∫ 0 h ( X ) ρ gramo z d z ) d X = L ∫ X 1 X 2 1 2 ρ gramo h 2 d X .
Para recibir su expresión necesitamos sustituir ρ con Δ ρ para tener en cuenta el hecho de que el fluido desplaza al gas, que también tiene energía potencial.

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