Principio de incertidumbre en un pozo de potencial infinito

Question

Principio de incertidumbre en un pozo de potencial infinito

Física
impulso
función de onda
mecánica cuántica
Principio de incertidumbre de Heisenberg

qoqosz

Considere el pozo de potencial infinito, es decir, el espacio de Hilbert $L^2 \bigl([0,1]\bigr)$ . A continuación, consideramos el subconjunto

D_{θ} = {ψ \in L^{2} ([0, 1]) | ψ es absolutamente continua y ψ (0) = {mi}^{i θ} ψ (1)}

$D_\theta = \left\{ \psi \in L^2 \bigl([0,1]\bigr) | \; \psi \; \text{is absolutely continuos and } \psi (0) = e^{i \theta} \psi (1) \right\}$ en el que definimos el operador

p_{θ} = i \frac{\partial}{\partial x}

$p_\theta = i \frac{\partial}{\partial x}$ . Denotamos por

ψ_{n, θ} = e^{i (2 π n - θ) x}, n \in Z

$\psi_{n, \theta} = e^{i (2\pi n - \theta) x}, \; n \in \mathbb{Z}$ funciones propias de

p_{θ}

$p_\theta$ a los valores propios

λ_{n, θ} = 2 π - θ

$\lambda_{n, \theta} = 2\pi - \theta$ . Ahora pase al conmutador

[x, p_{θ}]

$[x,p_\theta]$ . Típicamente sería igual a

- i

$-i$ , pero se puede escribir:

⟨ ψ_{norte} | [X, pag] ψ_{norte} ⟩ = ⟨ ψ_{norte} | (X pag - pag X) ψ_{norte} ⟩ = λ_{norte} ⟨ ψ_{norte} | (X - X) ψ_{norte} ⟩ = 0 \neq - i ⟨ ψ_{norte} | ψ_{norte} ⟩ = - i

$\langle \psi_n | [x, p] \psi_n \rangle = \langle \psi_n | (xp - p x) \psi_n \rangle = \lambda_n \langle \psi_n | (x-x) \psi_n \rangle = 0 \neq -i \langle \psi_n | \psi_n \rangle = -i$

Mi pregunta es: ¿cómo se debe hacer frente al principio de incertidumbre en un potencial infinito?

jerry schirmer

¿Cómo hiciste el tercer paso? Si usted tiene

p

$p$ actuando hacia la izquierda, debes darte cuenta de que

⟨ ψ_{n} |

$\langle \psi_{n}|$ es el complejo conjugado de

| ψ_{n} ⟩

$|\psi_{n}\rangle$

qoqosz

⟨ ψ_{n} | (x p - p x) ψ_{n} ⟩ = - ⟨ p^{*} ψ_{n} | x ψ_{n} ⟩ + ⟨ ψ_{n} | x | p ψ_{n} ⟩ = - λ ⟨ ψ_{n} | x | ψ_{n} ⟩ + λ ⟨ ψ_{n} | x | ψ_{n} ⟩

jerry schirmer

El valor propio de

p^{*}

$p^{*}$ es

- λ

$-\lambda$

qoqosz

Pero

p

$p$ es selfadjoint - consulte slu.cz/math/cz/knihovna/ucebni-texty/… página 32 ejemplo 1. Esa es mi fuente.

usuario2963

relacionado: physics.stackexchange.com/q/10230

qoqosz

@zephyr en realidad no puedo ver cómo se relaciona con mi pregunta.

jerry schirmer

Conjugue el operador que anotó arriba. tiene un explícito

i

$i$ en eso.

Respuestas (2)

Principio de incertidumbre en un pozo de potencial infinito

¿Cómo hiciste el tercer paso? Si usted tiene $p$ actuando hacia la izquierda, debes darte cuenta de que $\langle \psi_{n}|$ es el complejo conjugado de $|\psi_{n}\rangle$
$\langle \psi_n | (xp-px) \psi_n \rangle = -\langle p^* \psi_n | x \psi_n \rangle + \langle \psi_n | x | p \psi_n \rangle = - \lambda \langle \psi_n | x | \psi_n \rangle + \lambda \langle \psi_n | x | \psi_n \rangle$
Pero $p$ es selfadjoint - consulte slu.cz/math/cz/knihovna/ucebni-texty/… página 32 ejemplo 1. Esa es mi fuente.
@zephyr en realidad no puedo ver cómo se relaciona con mi pregunta.
Conjugue el operador que anotó arriba. tiene un explícito $i$ en eso.

David Bar Moshé · Answer 1

David Bar Moshé

El problema en la evaluación es que la función $x \psi_n$ se encuentra fuera del dominio $D_{\theta}$ ya que no satisface la condición de contorno.

El operador $p{_\theta}$ no es auto adjunto en esta clase de funciones. Por lo tanto, el paso de su evaluación en el ket no es correcto.

La forma correcta de realizar el cálculo es por integración por partes y, en este caso, el término de frontera en $x = 1$ da la respuesta correcta.

Consulte el siguiente artículo de: F. Gieres: "Mathematical surprises and Dirac's formalism in quantum mechanics", donde se dan ejemplos de errores similares. Véase especialmente el ejemplo 5 en la página 6 y su solución en la página 39, que es muy similar al problema que nos ocupa.

qoqosz

Me baso en el siguiente artículo slu.cz/math/cz/knihovna/ucebni-texty/… -- página 32, ejemplo 1. El autor afirma que el operador de momento es autoadjunto. El problema es ese

x

$x$ El operador no es compatible con la condición de contorno. Todavía me gustaría ver cómo superar el problema de la incertidumbre también.

David Bar Moshé

El espacio de Hilbert

D_{θ}

$D_{\theta}$ no es estable bajo la acción del operador de posición. La solución es permitir que los operadores actúen en un espacio mucho más grande que este espacio de Hilbert, consulte la página 18 en la referencia proporcionada en el texto principal. Ahora, los operadores son solo multiplicación y derivada, la relación de incertidumbre es verificable por cálculo elemental. Lo que está mal al escribir es lo siguiente:

(p_{θ} Ψ_{1}, Ψ_{2}) = (Ψ_{1}, p_{θ} Ψ_{2})

$(p_{\theta}\Psi_1, \Psi_2) = (\Psi_1, p_{\theta}\Psi_2)$ en el caso de que

Ψ_{1} = ψ_{n}

$\Psi_1 = \psi_n$ y

Ψ_{2} = x ψ_{n}

$\Psi_2 = x \psi_n$ . Puedes verificar que la igualdad es incorrecta nuevamente usando cálculo elemental.

qoqosz

Está bien, gracias. Las cosas se me están aclarando mucho. Si tuviera que verificar el principio de incertidumbre para pozos infinitos, mientras calculo

σ_{x}

$\sigma_x$ ,

σ_{p}

$\sigma_p$ y

| ⟨ [p, x] ⟩ |

$\left| \langle [p,x] \rangle \right|$ ¿Debería usar integrales estándar para esta expresión y está bien?

David Bar Moshé

Sí, en este caso, es cierto. La referencia de Gieres enfatiza que se debe tener cuidado al manejar el formalismo de sujetador y ket de Dirac en el caso de espacios de Hilbert de dimensión infinita. Los dominios del operador deben tenerse en cuenta al decidir la autoadjunción.

DanielC · Answer 2

El "principio de incertidumbre" es ciertamente una frase pegadiza (especialmente para los neófitos), el único problema real es que las personas necesitan saber un poco (o tal vez más) de análisis funcional para encontrar y comprender su verdadero significado. Como recurso general, se puede tomar el libro de Brian Hall " https://www.amazon.com/Quantum-Theory-Mathematicians-Graduate-Mathematics/dp/146147115X ". Tiene el capítulo 12 para este tema en particular.

El problema en el OP es que el dominio de la autoadjunción para $p_\theta$ no incluye la gama de $x$ bajo las condiciones de contorno particulares requeridas por la auto-adjunción de $p_\theta$ . La teoría general afirma que el dominio máximo del conmutador de 2 operadores ilimitados tiene una cierta restricción (3 condiciones)

D_{[A, B]} =: {ψ \in D (A) \cap D (B) | Corrió (A) \subset D (B) \land Corrió (B) \subset D (A)}

$D_{[A,B]} =: \{\psi\in D(A)\cap D(B)~|~ \text{Ran} (A) \subset D(B)~ \wedge~ \text{Ran} (B) \subset D(A) \}$

Estas condiciones (que D(A) y D(B) tengan una intersección no nula y además los rangos de los 2 operadores estén incluidos en el dominio del otro) deben verificarse para cada sistema físico. Solo entonces (si se cumplen estos 3), se permite hacer declaraciones sobre "principios de incertidumbre" y posibles fallas de los mismos.

Como nota al margen: al discutir asuntos de la teoría del operador espacial de Hilbert, se recomienda encarecidamente NO utilizar el formalismo "bra-ket", simplemente porque su fundamento matemático está realmente fuera del alcance de la teoría del espacio de Hilbert. El poder del formalismo bra-ket está solo en un nivel de cálculo formal, es decir, cuando uno hace cálculos formales y no se preocupa si estas expresiones tienen sentido desde un punto de vista matemático.

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