Preparando un estado |χ⟩=12√|12,+12⟩+12√|12,−12⟩|χ⟩=12|12,+12⟩+12|12,−12⟩|\chi\rangle=\ fracción{1}{\sqrt{2}}|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1} {2},-\frac{1}{2}\rango

Considere el estado de espín de una partícula de espín s = 1 2 . En lo que se refiere a los grados de libertad de espín, los operadores S 2 y S z forman el conjunto completo de conmutables observables, es decir, [ S 2 , S z ] = 0 . Supongamos que medimos ambos S 2 y S z . Medida de S z producirá los valores metro s = + 1 2 o metro s = − 1 2 . Además, suponga que el 50% de las veces encontramos que la partícula está en el + 1 2 estado (indicado por | 1 2 , + 1 2 ⟩ ) y el otro 50% del tiempo en el metro s = − 1 2 estado (indicado por | 1 2 , − 1 2 ⟩ ).

  1. Con base en esta información, ¿qué representa el conjunto anterior? ¿Es un conjunto puro o mixto? Supongo que es un conjunto mixto.

  2. Si es puro (lo que dudo), el estado de giro normalizado | x ⟩ de la partícula se puede escribir como

    (1) | x ⟩ = mi i ϕ 1 2 | 1 2 , + 1 2 ⟩ + mi i ϕ 2 2 | 1 2 , − 1 2 ⟩
    dónde ϕ 1 , ϕ 2 son fases arbitrarias. Por lo tanto, el estado de espín del sistema no se especifica de manera única porque la fase relativa no se puede fijar.

  3. ¿Cómo se prepara un estado con ϕ 1 = ϕ 2 = 0 de modo que

    (2) | x ⟩ = 1 2 | 1 2 , + 1 2 ⟩ + 1 2 | 1 2 , − 1 2 ⟩ ?

Podría ser una buena idea incluir en su título que esta pregunta es específicamente sobre el factor de fase
1. "Por lo tanto, el estado del sistema no puede especificarse de manera única aunque sea un estado puro". - ¿Por qué es esto sorprendente? Ha dado información incompleta: un parámetro real, a saber, la probabilidad de estar en un determinado S z estado - pero el estado del espacio, la esfera de Bloch, tiene dos parámetros reales. Por favor, no haga preguntas cuya respuesta probablemente sea simplemente "Sí". 2. Si se trata de una pregunta sobre el procedimiento experimental, parece ser una pregunta muy diferente de la primera y debe hacerse por separado. Aconsejaría eliminar/aclarar el primero y ampliar el segundo.
@ACuriousMind 1. ¿Cómo se sabe a priori si la respuesta será afirmativa? Generalmente se hace una pregunta cuando hay una confusión por parte de la persona que pregunta. 2. No creo que sea una pregunta experimental. Es una pregunta conceptual.
Si no es una pregunta experimental (¡que no estaría fuera de tema!), entonces no sé a qué te refieres con "preparar".

Respuestas (4)

Con base en la información que ha presentado,

[Si medimos S z , entonces] el 50% de las veces encontramos que la partícula está en el + 1 2 estado (indicado por | 1 2 , + 1 2 ⟩ ) y el otro 50% del tiempo en el metro s = − 1 2 estado (indicado por | 1 2 , − 1 2 ⟩ )

no hay suficiente información para decir si el sistema está en un estado puro o mixto. Como dos ejemplos concretos, ambos

  • el estado completamente mixto ρ = 1 2 ( | 1 2 , − 1 2 ⟩ ⟨ 1 2 , − 1 2 | + | 1 2 , 1 2 ⟩ ⟨ 1 2 , 1 2 | ) , y
  • el estado puro | ψ ⟩ = 1 2 ( | 1 2 , − 1 2 ⟩ + | 1 2 , 1 2 ⟩ ) ,

son compatibles con esas estadísticas de medición. El estado más general que producirá esos resultados de medición tiene una matriz de densidad de la forma

ρ = ( 1 2 ρ 12 ∗ ρ 12 1 2 ) ,
en el { | 1 2 , + 1 2 ⟩ , | 1 2 , − 1 2 ⟩ } base, donde ρ 12 es la coherencia entre los dos estados básicos; esto puede ser cero (dando el estado completamente mixto) o cualquier número complejo con un módulo de hasta 1 / 2 (en cuyo caso el estado es un estado puro, con la fase de ρ 12 indicando la fase relativa entre los estados base en la superposición), o en algún punto intermedio (indicando coherencia parcial entre los dos estados).

Si sabe explícitamente que no tiene más información sobre el estado, entonces se establece de forma predeterminada en el estado completamente mixto. Esto se debe a que, como observa, para poder hablar sobre un estado puro con esas estadísticas, debe ser un estado de superposición de pesos pares de la forma

| x ϕ ⟩ = 1 2 | 1 2 , + 1 2 ⟩ + mi i ϕ 2 | 1 2 , − 1 2 ⟩ ,
y necesitas especificar una fase relativa ϕ entre los dos (la fase global, por otro lado, es irrelevante), y si no tiene más información, entonces no puede saber qué poner para ϕ . Una forma de hacer esto es hacer un promedio donde todas las diferentes fases son igualmente probables, y esto te da...
ρ = ∫ 0 2 π | x ϕ ⟩ ⟨ x ϕ | d ϕ = ∫ 0 2 π 1 2 ( 1 mi − i ϕ mi i ϕ 1 ) d ϕ = 1 2 ( 1 0 0 1 )
el estado completamente mixto.

Por otro lado, si tiene más información sobre el estado (como estadísticas de medición en S X y S y ) entonces puedes decir más sobre la fase, pero en una situación tan generalizada, hay muy poco más que puedas decir.

Y finalmente, en cuanto a cómo se prepara la superposición de fase positiva,

| + ⟩ = 1 2 | 1 2 , + 1 2 ⟩ + 1 2 | 1 2 , − 1 2 ⟩ ,
la forma más conveniente es medir S X y esperar un resultado de + 1 / 2 , pero en realidad, hay un número infinito de formas de llegar a ese resultado, por lo que no es una pregunta particularmente respondible.

Configure un experimento de Stern-Gerlach, filtre el haz alrededor z ^ con un gradiente magnético a lo largo de este eje, mida la X ^ componente de espín: su estado es una combinación del ± estados propios de σ X .

  1. si mides S z con las mismas probabilidades de encontrar = 1 / 2 o − 1 / 2 significa que el sistema de giro se preparó en una dirección perpendicular a z . Sin pérdida de generalidad llamémoslo el X dirección. El estado que escribiste es solo el estado general de giro en el X dirección, que es una combinación lineal

    | x ⟩ = a | + 1 / 2 ⟩ + b | − 1 / 2 ⟩ ,
    restringida a una condición de normalización,
    | ⟨ x | x ⟩ | 2 = 1 ,
    y a las probabilidades de encontrar S z = ± 1 / 2 condiciones,
    | ⟨ + 1 / 2 | x ⟩ | 2 = 1 / 2 , | ⟨ − 1 / 2 | x ⟩ | 2 = 1 / 2.
    La solución para los coeficientes es a = mi i ϕ 1 / 2 y b = mi i ϕ 2 / 2 .

  2. El estado

    | + X ⟩ = 1 2 ( | + 1 / 2 ⟩ + | − 1 / 2 ⟩ ) ,
    es tal que al medir S X da + 1 / 2 siempre. Ahora supongamos que comienza con un conjunto de tiradas preparadas con S z = + 1 / 2 . Si desea ahora preparar el sistema para el estado S X = + 1 / 2 , simplemente gire el aparato (un dispositivo Stern-Gerlach, por ejemplo) en el X dirección y medir el giro. La mitad de las medidas mostrarán S X = + 1 / 2 y esos giros están todos preparados en | + X ⟩ . La otra mitad da S X = − 1 / 2 y se preparan en | − X ⟩ .

  1. Sí, el estado de giro no se especifica de forma única. De hecho, puedes omitir la fase. mi i ϕ 1 y luego | x >= 1 2 | 1 2 , + 1 2 > + mi i ϕ 2 | 1 2 , − 1 2 > , ya que no importa si el sistema está aislado.

  2. Es como cuando sabes la dirección de z ^ , ¿puedes señalar la dirección de X ^ ? No, solo puedes determinar el plano xy y tienes que definir X ^ si quieres. Así que tienes que definir la dirección de | x + >= 1 2 | 1 2 , + 1 2 > + 1 2 | 1 2 , − 1 2 > primero.

    digamos la dirección de | 1 2 , + 1 2 > : z ^ , y la dirección de tu buscado | x + > : X ^ . A continuación, puede medir un conjunto de estado en la dirección X ^ , y recoger esos estados que colapsan en | x + >

Preparando un estado |χ⟩=12√|12,+12⟩+12√|12,−12⟩|χ⟩=12|12,+12⟩+12|12,−12⟩|\chi\rangle=\ fracción{1}{\sqrt{2}}|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1} {2},-\frac{1}{2}\rango
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