Preguntas sobre el teorema de Carnot

La prueba detrás del límite superior de Carnot planteado sobre la eficiencia de los motores térmicos es más sólida que esto. Las citas que ha pegado se encuentran entre las diversas declaraciones de la segunda ley de la termodinámica. Aquí les esbozaré algunas de las ideas de la demostración, principalmente para mostrar de dónde vienen estas formulaciones (relacionadas con Carnot) del segundo principio. Inevitablemente, repetiré la mayoría de las cosas que probablemente ya sepa, pero se repiten más con fines de discusión. Hacia el final me referiré más de cerca a sus dos preguntas principales.

La principal cuestión planteada por Carnot es básicamente la siguiente: del segundo principio ya sabemos que es imposible construir una máquina térmica que funcione únicamente con un solo baño de calor. Entonces, la pregunta se convirtió en: ¿cuál es la cantidad máxima de trabajo que podemos lograr con un motor térmico que funciona de manera reversible entre dos caminos de calor, con los que puede intercambiar calor?

Ahora, desde un punto de vista puramente esquemático, sabemos que uno de esos motores debería describirse mediante un ciclo termodinámico que maximice el área bajo la curva en el diagrama PV. Entonces Carnot se dispuso a idear un ciclo termodinámico que satisficiera esto. Recuerde que el trabajo útil neto que proporciona el sistema es igual al área encerrada por un ciclo cerrado, por lo que intuitivamente ya tenemos una idea del tipo de expansiones y compresiones que debe realizar el ciclo: es decir, el costo de la compresión se minimiza al comprimiendo en frío (mínimo$T$), y la expansión que produce la máxima cantidad de trabajo al expandirse en caliente (mayor$T$), de ahí la elección de las dos partes principales reversibles (sin pérdida alguna, sin producción de entropía) isotérmicas de compresión y expansión del ciclo de Carnot. Aquí está el diagrama PV tomado de wikipedia ("Diagrama pV del ciclo de Carnot". Licenciado bajo CC BY-SA 3.0 a través de Commons):

Un recordatorio rápido de cada paso involucrado junto con el trabajo/calor proporcionado al exterior (signo menos) o recibido (signo más):

• 1 a 2: expansión isotérmica reversible,$T=T_1,$ $V_1 \to V_2,$ $W_1 = -RT_1 \ln{V_2/V_1}$y$Q_1 = RT_1 \ln{V_2/V_1},$sin cambio de energía interna,$Q=-W$

• 2 a 3: enfriamiento del agente de trabajo a través de una expansión adiabática reversible, energía interna reducida solo a través del trabajo,$Q_2=0,$ $V_2 \to V_3,$ $T_1 \to T_2$y$W_2 = C_v (T_2-T_1)$

• 3 a 4: compresión isotérmica reversible en frío$T=T_2,$ $V_3 \to V_4,$ $W_3 = -RT_2 \ln{V_4/V_3}$y$Q_3 = RT_2 \ln{V_4/V_3},$

• 4 a 1: calentamiento por compresión adiabática reversible:$T_2 \to T_1,$ $V_4 \to V_1,$ $Q_4 = 0$y$W_4 = C_v (T_1-T_2)$

Todos los ingredientes para calcular la eficiencia térmica$\eta_{Carnot}$, dado por el trabajo neto proporcionado por el sistema al medio ambiente dividido por el calor total recibido durante un ciclo (una idea importante es usar las transformaciones adiabáticas para expresar$W$en términos de$T_{1,2}$y$V_{1,2}$). Una vez hecho esto, debería ser una función única de las dos temperaturas del baño de calor (en Kelvin):

Con respecto a su segunda pregunta, la idea clave es que ningún otro motor puede producir una mayor eficiencia que el de Carnot (que conceptualmente ahora esperamos que sea cierto, recuerde los puntos anteriores sobre cómo construir un ciclo que maximice$\eta$), pero esto no significa que no haya otros motores con transformaciones reversibles que no puedan producir la misma eficiencia, tomemos, por ejemplo, el motor Stirling (un ciclo de 4 pasos nuevamente):

Para el motor Stirling puede demostrar que la eficiencia es:

lo que debería convencerte de que el ciclo de Carnot no es único. Para resumir, todo esto lleva a otra declaración del segundo principio de la termodinámica: no hay máquina que realice un proceso cíclico con una eficiencia mayor que$\eta_{Carnot}.$

Parece que te gustaría leer algunos libros clásicos sobre termodinámica; uno especialmente bueno es el de Fermi . Tiene muchos buenos argumentos; breve y simple, pero lógicamente hermético.

Para su primera pregunta: un proceso irreversible aumenta la entropía del universo. Si un motor irreversible tuviera la misma eficiencia que uno reversible, podríamos hacerlo funcionar junto con el reversible al revés, llegando exactamente al mismo estado inicial del universo. Pero aumentamos la entropía del universo haciendo funcionar el motor irreversible, por lo que en algún momento debemos haber disminuido la entropía. Esto es imposible.

Para su segunda pregunta: todos los motores reversibles tienen la misma eficiencia. Todos estos motores se ven prácticamente iguales: solo se le permite transferir calor de los depósitos de forma isotérmica (con el material del motor a la misma temperatura que los depósitos), y se le permite hacer cualquier otra cosa en el medio. Carnot hace adiabáticos en el medio, pero podrías hacer isocoros. O una adiabática en un sentido y una isocórica en el otro. O una isobárica, luego una isocórica, luego una adiabática, etc. Hay muchas posibilidades.

El motor reversible es el más eficiente y todos los motores reversibles tienen la misma eficiencia. Se puede mostrar así: si hay una máquina X que es más eficiente que el motor R (reversible), entonces podríamos invertir la R para dar al depósito caliente el calor que tomó X, pero para hacer eso tendríamos que tomar más calor. del depósito frío, entonces X porque X es más eficiente por suposición. En total, el trabajo de X, reducido por el trabajo de R en la inversión, proviene solo de tomar el calor del depósito frío y eso no es posible según la segunda ley. Formulación de Kelvin de la segunda ley: No es posible tener tal cambio de estado de un sistema donde el único efecto sería convertir completamente una cierta cantidad de calor en trabajo. Es una afirmación de que el calor va en una sola dirección y esta es una declaración algo fenomenológica de la segunda ley.