Eficiencia de los motores reversibles

Si todas estas afirmaciones son ciertas, ¿no es cierto que todos los motores reversibles funcionan con la eficiencia de Carnot?

Es cierto siempre que los motores reversibles funcionen entre el mismo par de temperaturas. Las afirmaciones que llevan a su conclusión son verdaderas para el motor que opera entre dos temperaturas . Así es la conclusión basada en ellos; todos los motores reversibles que operan entre el mismo par de temperaturas tienen la misma eficiencia

¿Dónde estoy malinterpretando la lógica?

No creo que lo hagas.

Creo que el esquema anterior representa un ejemplo de una máquina térmica simple que se puede hacer reversible, pero tiene diferentes eficiencias ideales dependiendo de la elección particular de V1, V2, P1, P2. Este motor no funciona entre dos depósitos de temperatura constante, sino que funciona junto a un depósito cuya temperatura cambia continuamente. Yendo en el sentido de las agujas del reloj desde la esquina inferior izquierda, el segmento de (V1, P1) a (V1, P2) es isocórico (volumen constante) pero experimenta presiones crecientes a medida que el calor se transfiere desde un depósito con una temperatura ligeramente superior a la del motor. cámara (a los efectos de la reversibilidad).

El segundo segmento de (V1, P2) a (V2, P2) ocurre cuando el calor continúa transfiriéndose de manera reversible desde un depósito con una temperatura ligeramente superior a la de la cámara del motor; el proceso de este segmento es isobárico y produce tanto trabajo en el medio ambiente como así como un aumento en la energía interna del gas en la cámara. El tercer segmento de (V2, P2) a (V2, P1) ocurre cuando el calor se transfiere lenta y reversiblemente al depósito (cuya temperatura ahora se mantiene ligeramente por debajo de la de la cámara); es un proceso isocórico debido a una disminución gradual presión ambiental. El segmento final de (V2, P1) a (V1, P1) es isobárico y da como resultado que se realice trabajo SOBRE el sistema, así como también una disminución simultánea en la energía interna del sistema.

Es posible determinar la eficiencia de este sistema determinando la relación del trabajo realizado dividido por el calor total en el sistema. Es fácil ver que el trabajo neto total realizado es (P2 - P1)*(V2 - V1). Es posible determinar el calor que entra (así como el calor que sale) usando:

$\Delta$U=Q - W, o equivalentemente Q =$\Delta$U + W. Además,$\Delta$tu =$\frac{3}{2}$nR$\Delta$T (supondremos n=1 por simplicidad a partir de ahora). Algunas fórmulas equivalentes son$\Delta$tu =$\frac{3}{2}$$\Delta$PV (suponiendo volumen constante) y$\Delta$tu =$\frac{3}{2}$PAG$\Delta$V (asumiendo presión constante). Tenemos todo lo que necesitamos para proceder.

Analizando segmento por segmento:

Segmento 1:$Q_{in}$=$\Delta$U + W. Debido a que esto es isocórico, W = cero, entonces$Q_{in}$=$\Delta$tu =$\frac{3}{2}$$\Delta$VP =$\frac{3}{2}$(P2 - P1)*V1.

Segmento 2:$Q_{in}$=$\Delta$U + W. Hay un aumento en la energía interna ($\Delta$tu) =$\frac{3}{2}$PAG$\Delta$V =$\frac{3}{2}$P2*(V2-V1). También se realiza trabajo: W = P2*(V2 - V1), por lo que el calor total para este segmento es$Q_{in}$=$\frac{5}{2}$P2*(V2-V1).

Lo anterior significa que para este motor el Total$Q_{in}$=$\frac{3}{2}$(P2 - P1) V1 +$\frac{5}{2}$P2 (V2-V1). Por lo tanto, la eficiencia se puede calcular como

Eficiencia =$\frac{Total Net Work}{Total Heat Input}$=$\frac{(P2 - P1)*(V2 - V1)}{\frac{3}{2}(P2 - P1)*V1 + \frac{5}{2}P2*(V2-V1)}$=$\frac{(P2 - P1)*(V2 - V1)}{(P2 - P1)*(V2 - V1)+(\frac{3}{2}P2V2 + P1V2 - \frac{5}{2}P1V1)}$

El denominador se reescribió en forma equivalente en el último término de la derecha para demostrar que, como se esperaba, la eficiencia siempre es <100% porque el término$(\frac{3}{2}P2V2 + P1V2 - \frac{5}{2}P1V1)$siempre es positivo para P2 > P1 y V2 > V1.

La eficiencia ideal de esta máquina térmica varía según los valores reales de P1, P2, V1 y V2. Aquí hay un fragmento de una hoja de cálculo que muestra esto:

Aunque no es necesario ir más lejos para demostrar la pieza de eficiencia, es instructivo notar algunos otros hechos. En realidad ya conocemos el Total$Q_{out}$porque por la conservación de la energía para todo el ciclo Total$Q_{in}$- Total$Q_{out}$= Trabajo neto, así que haciendo las matemáticas encontramos que Total$Q_{out}$= totales$Q_{in}$- Trabajo neto =$\frac{3}{2}(P2 - P1)*V2 + \frac{5}{2}P1*(V2 - V1)$. Aunque ya hemos calculado estas cifras, es instructivo completar el análisis de flujo de calor para confirmar.

(Estoy eligiendo mantener Total$Q_{out}$cantidades positivas a pesar de que técnicamente son negativas, pero recordando que se restarán al final, así que está bien):

Segmento 3:$Q_{out}$=$\Delta$U + W =$\frac{3}{2}(P2 - P1)*V2$porque W = cero.

Segmento 4:$Q_{out}$=$\Delta$U + W =$\frac{3}{2}P1*(V2 - V1) + P1*(V2 - V1) = \frac{5}{2}P1*(V2 - V1)$

Sumando estos hemos confirmado el Total$Q_{out}$parte de la fórmula como se esperaba.