Pregunta sobre la forma de Matar en Georgi

Estoy tratando de entender la forma de Matar descrita en la página 49 del libro de Howard Georgi. Comienza diciendo que uno define el producto interno entre dos generadores T a y T b en la representación adjunta de la siguiente manera:

T r ( T a T b )
y luego, posteriormente, dice que esta es una matriz simétrica real. No estoy seguro de por qué este es el caso, porque el rastro sería solo un número. Primero, pensé que esto podría ser solo un pequeño error.

Sin embargo, deduce que una transformación lineal en los generadores X a (en una representación arbitraria):

X a → X a ′ = L a b X b
resulta en la siguiente transformación:
T r ( T a T b ) → T r ( T a ′ T b ′ ) = L a C L b d T r ( T C T d )
Y luego afirma que podemos diagonalizar el trazo eligiendo un apropiado L tal que podemos escribir (después de eliminar los números primos):
T r ( T a T b ) = k a d a b
Realmente no entiendo de dónde viene esta ecuación. Nunca he oído hablar de la diagonalización de la traza (porque se trata de un número, no de una matriz) y no pude encontrar nada útil en Google. Cualquier ayuda con mi problema sería muy apreciada.

Atentamente,

Comentario a la pregunta (v1): Georgi está diciendo que METRO = ( METRO a b ) 1 ≤ a , b ≤ norte es una matriz simétrica real con elementos de matriz METRO a b := T r ( T a T b ) ∈ R .
Ah vale gracias! No puedo ver cómo obtienes esto de lo que escribe, pero eso tiene sentido.

Respuestas (1)

Simplemente estamos tratando el álgebra de Lie del grupo de Lie relevante aquí puramente como un espacio vectorial y haciendo transformaciones lineales en ese espacio lineal. Desde Tr ⁡ ( X Y ) = Tr ⁡ ( Y X ) es generalmente cierto, la matriz de la traza es simétrica. El L a , b son como rotaciones generalizadas y, mientras tengan matrices no singulares, conservan toda la información del álgebra de Lie.

Algunos de los comentarios de Georgi no creo que sean generales. La forma que está definiendo es la forma Matar en la representación adjunta y no siempre es un producto interno. Está asumiendo que el grupo en cuestión (i) tiene un centro finito y (ii) es compacto, porque tenemos el siguiente teorema notable:

Dado que un grupo de Lie tiene un centro finito, la forma Killing en el álgebra de Lie de un grupo es definida negativa si y solo si el grupo es compacto.

Una buena referencia para esto es: S. Helgason "Geometría diferencial Grupos de Lie y espacios simétricos" Cap. II, apartado 6, prop. 6.6.

Me encanta este teorema, es realmente bastante rápido cuando lo piensas, ya que nos dice algo sobre las propiedades globales del grupo a partir de información codificada localmente (en el álgebra de Lie).

Entonces, la forma Killing es el negativo de un producto interno para grupos compactos con centros finitos. Una vez que tenemos un producto interno, podemos, por supuesto, definir la ortogonalidad, la ortonormalidad y las transformaciones unitarias del álgebra de Lie. Aunque no he visto esto antes, así será como se puede hacer la diagonalización de la que hablas. Una vez que tiene un producto interno, se puede trabajar con el procedimiento de Gramm-Schmidt, y así es como su L a , b se van a derivar.

Para los grupos unitarios (con los que sospecho que está lidiando Georgi - ¡estamos hablando del profesor SU(5) / SO(10) aquí!), el negativo de la forma Killing se ve aún más fácilmente como un producto interno:

⟨ X , Y ⟩ = Tr ⁡ ( X † Y ) = − Tr ⁡ ( X Y )

porque, por supuesto, los miembros del álgebra de Lie son hermitianos sesgados.

Gracias por su respuesta. Tengo otra pregunta. ¿Sabe por qué solo podemos definir el producto interno (es decir, la forma de matar) para los generadores en la representación adjunta? Me parece que la huella de los generadores satisface las condiciones del producto interior en cualquier representación arbitraria de los generadores.
@Hunter Buena pregunta. Déjame pensar en esto. Creo que puede definir un producto interno como dice en cualquier representación (por ejemplo, para grupos unitarios), es simplemente que, a menos que esté en la representación adjunta, las propiedades de esta forma bilineal no tienen un significado especial como el teorema de Helgason. Otra es esta: el grupo es semisimple si y sólo si la forma Killing no es degenerada. Estoy bastante seguro de que esta es la razón por la que no se habla de formas de eliminación en otros representantes, pero aún puede haber una razón para definir un producto interno (para definir una métrica, por ejemplo) allí.
@Hunter Por supuesto, tonto (¡me desarmó la claridad de tu espada pensante! ¡Ay!) - Existe otra razón por la que uno también necesita que la representación del álgebra de mentira sea fiel para transmitir la mayor información posible sobre el grupo de mentira subyacente. Mi prejuicio al pensar es usar el álgebra para estudiar el grupo de Lie, por lo que solo he pensado en la forma Matar en la imagen del representante adjunto, pero, por supuesto, uno generalmente tiene razones más generales para usar otros representantes no fieles. Además, ni siquiera el representante adjunto es fiel al grupo si este último tiene un centro no discreto.
Gracias por su respuesta. Tendré que pensar más en tus respuestas. Creo que tu nivel de comprensión es mucho mejor que el mío, así que no estoy seguro de haberte entendido completamente. De cualquier manera, siempre es bueno sentirse presionado para comprender mejor un tema tan importante;). Si tengo más preguntas, me aseguraré de hacerlas aquí en este foro.
@Hunter, lamento que no me entienda completamente, pero creo que sé lo que quiere decir. Siéntase libre de hacer cualquier pregunta aquí después de haber reflexionado sobre este tema (tendrá que publicar la pregunta en un comentario aquí para contácteme, o envíeme un correo electrónico a la dirección en mi página de usuario y podemos chatear). Una aplicación muy simple de la forma Matar en el representante adjunto de S tu ( 2 ) se puede encontrar aquí : el autor original de la pregunta pareció perder interés en su pregunta, ¡pero tal vez puedas deducir algo de ella!
Hice una pregunta sobre una relación de isomorfismo en la teoría de grupos en Math SE y, lamentablemente, las personas allí no reaccionan a mi pregunta. Si tiene algo de tiempo libre, estaría muy agradecido si pudiera echarle un vistazo y ver si está de acuerdo/en desacuerdo con mi prueba.
Estimado @Hunter Perdón por mi falta de respuesta. Su prueba parece básicamente sólida, aunque en este momento no tengo tiempo para seguir adelante con un buen diente. Claramente, está razonando en términos fundamentales y sólidos. La respuesta de Manolito Pérez es la que más me gusta, es la más concisa y realmente de lo único que debes preocuparte. Sin embargo, en general, debe tener cuidado con los cocientes y los productos: en este caso, está comenzando con un producto directo GRAMO × H entonces todo funciona, pero en general GRAMO = k / H No implica k = GRAMO × H sino mas bien el...
... el producto semidirecto es relevante (la principal diferencia es que el producto semidirecto entre dos grupos no es único.
Ningún problema. ¿Tiene algún recurso/libro en el que discutan explícitamente estas cosas con gran detalle? La mayoría de los libros (lo sé) discuten brevemente el producto directo y el grupo cociente, pero nunca entran en muchos detalles (y no discuten la relación entre ellos). Esto me parece extraño, porque es muy importante en la física teórica. Además, gracias por tu comentario sobre el hecho de que GRAMO = k / H No implica k = GRAMO × H . Realmente quiero aprender más sobre. Tal vez debería preguntarlo en física SE, pero no creo que se permita tal pregunta.
Pregunta sobre la forma de Matar en Georgi
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v