Pregunta sobre la colisión de bolas en 2D y la conservación del impulso y la energía cinética

Question

Pregunta sobre la colisión de bolas en 2D y la conservación del impulso y la energía cinética

usuario315366

Tengo una pregunta sobre el choque de 2 bolas (de la misma unidad de masa) $m=1$ ) en 2 dimensiones, por favor.

Suponemos que, justo antes del punto de colisión, la velocidad de la pelota $\rm A$ era $[1, 3]$ . La velocidad de la pelota $\rm B$ justo antes de que la colisión fuera $[-2, 4]$ . Las velocidades justo antes de la colisión en una imagen se ven de la siguiente manera.

La cantidad de movimiento total antes del choque es: $[1,3] + [-2,4] = [-1,7]$

La energía cinética total antes del choque es: $0.5×(1×1 + 3×3) + 0.5×(-2×-2 + 4×4) = 15$

Dado que estas son las dos únicas restricciones que nos imponemos a nosotros mismos, podríamos observar las velocidades después de la colisión de la siguiente manera. Supongamos que si la velocidad de la pelota $\rm A$ después de la colisión es $[0,2]$ , y la velocidad de la pelota $\rm B$ después de la colisión es $[-1,5]$ .

En este caso, la cantidad de movimiento después de la colisión es $[0,2] + [-1,5] = [-1,7]$ que se conserva exactamente (ya que el impulso se conserva en cuanto a dimensión para cada dimensión individualmente).

La energía cinética después de la colisión es: $0.5(0×0 + 2×2) + 0.5(-1×-1 + 5×5) = 15$ que también se conserva exactamente.

Por lo tanto, se satisfacen las dos restricciones, que es la conservación del momento y la conservación de la energía cinética.

Podríamos graficar las velocidades después de la colisión como:

Pero este resultado matemático no tiene sentido físicamente.

Pelota $\rm A$ de alguna manera ha "cambiado" de lugar con la pelota $\rm B$ . Comparando las imágenes de antes y después, no podemos imaginar colisiones de bolas en la vida real (por ejemplo, bolas de billar en una mesa de billar) comportándose de esta manera.

Las dos restricciones que hemos utilizado como "verificación de la realidad" son:

impulso antes de la colisión $=$ impulso después de la colisión
energía cinética antes de la colisión $=$ energía cinética después de la colisión

Lo que significa que estas dos restricciones por sí solas no son suficientes para predecir correctamente lo que sucederá físicamente cuando las dos bolas choquen, ¿no es así?

Pero este es el encuadre habitual de la colisión de bolas en 2D. Entonces, ¿qué hay de malo en el cálculo anterior, o qué hay de malo en asumir solo las 2 restricciones estándar de conservación del momento y conservación de la energía cinética en este caso?

JEB

¿Las colisiones 3D no son también colisiones 2D?

Respuestas (1)

Pregunta sobre la colisión de bolas en 2D y la conservación del impulso y la energía cinética

marca h · Answer 1

En dos o más dimensiones, la conservación de la cantidad de movimiento y la conservación de la energía cinética no brindan suficientes restricciones para determinar de manera única los resultados de una colisión elástica. Usando bolas de igual masa, las leyes de conservación dan como resultado las siguientes dos ecuaciones:

\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}} = {\vec{v_{1}}}^{'} + {\vec{v_{2}}}^{'}

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_1}' + \vec{v_2}'$ y

| | \vec{v_{1}} | |^{2} + | | \vec{v_{2}} | |^{2} = | | {\vec{v_{1}}}^{'} | |^{2} + | | {\vec{v_{2}}}^{'} | |^{2}

$||\vec{v_1}||^2 + ||\vec{v_2}||^2 = ||\vec{v_1}'||^2 + ||\vec{v_2}'||^2$ donde los vectores no primos están antes de la colisión y los vectores primos están después de la colisión. Hay cuatro incógnitas en este conjunto de ecuaciones:

v_{1 x}^{'}

$v_{1x}'$ ,

v_{1 y}^{'}

$v_{1y}'$ ,

v_{2 x}^{'}

$v_{2x}'$ , y

v_{2 y}^{'}

$v_{2y}'$ , pero solo hay tres ecuaciones (la ecuación de cantidad de movimiento codifica dos ecuaciones, una para

v_{x}

$v_x$ y uno para

v_{y}

$v_y$ . Entonces, hay un número infinito de soluciones para estas ecuaciones, cada una correspondiente a la posición específica de las bolas en el momento de la colisión.

Para obtener su solución, imagine que la bola A está debajo ya la izquierda de la bola B cuando chocan. La Pelota A recibirá una patada horizontal en la dirección -x y una patada vertical en la dirección -y, y la Pelota B recibirá patadas en direcciones opuestas. Esto dará como resultado que las bolas tengan la velocidad en su diagrama.

Gracias por responder. Verifiqué dos veces esto, pero de alguna manera todavía obtengo la misma respuesta. Energía cinética después de la colisión = 0,5 x (0x0 + 2x2) + 0,5 x (1x1 + 5x5) = 15. ¿Estoy usando una fórmula diferente?
@James Tienes razón. Cambiaré mi respuesta a algo más correcto.
@James He escrito una respuesta que en realidad contiene declaraciones verdaderas.
gracias, sí, resulta que las restricciones no son suficientes... De alguna manera, siempre he creído (me lo han dicho en alguna parte) que la colisión de la bola de billar depende exclusivamente del impulso y la conservación de la energía cinética... ;(
@James Alégrate de que las restricciones no sean suficientes; de lo contrario, el juego de billar sería mucho menos interesante. ;) Además, en una dimensión, las leyes de conservación son suficientes, bueno, casi. La solución trivial donde no hay colisión también es válida y sigue las leyes de conservación.

Pregunta sobre la colisión de bolas en 2D y la conservación del impulso y la energía cinética

usuario315366

JEB

Respuestas (1)

marca h

usuario315366

marca h

marca h

usuario315366

marca h

Colisión elástica y momento

¿Qué causa el daño, la energía cinética o el impulso?

La tercera ley de Newton ... ¿golpear un panel de yeso (que rompo) versus golpear un ladrillo (que me rompe)?

Conservación de la energía cinética en colisión perfectamente elástica

¿La energía cinética siempre se conserva en una colisión/impacto elástico?

En la colisión inelástica, el impulso se conserva mientras que la energía cinética no, ¿por qué? [duplicar]

Proyectil que se detiene por completo en el momento del impacto frente a romper y continuar

¿Cómo puede un martillo de muy poco peso aplicar una gran fuerza cuando se golpea desde una altura?

Comprender las colisiones elásticas de objetos con las mismas velocidades

¿Cambia la energía cinética total durante una colisión elástica?