Pregunta básica de física sobre el cálculo de la resistencia.

Si tiene un circuito con una batería de 50 V y una sola resistencia de 50 ohmios, fluiría una corriente de 1A a través de esa resistencia de acuerdo con la Ley de Ohm (V = IR). Ahora agregue una resistencia de 20 ohmios en paralelo con esta resistencia de 50 ohmios. La corriente que pasa a través de la resistencia original de 50 ohmios será la misma debido a la Ley de Ohm (V = IR): la caída de voltaje a través de la resistencia es la misma (50 V) y la resistencia es la misma (50 ohmios), por lo que tendría el misma corriente. Sin embargo, ahora los electrones también pueden fluir a través de la otra resistencia, por lo que la corriente general es mayor. Si ahora se aleja y observa el circuito general, tiene el mismo voltaje que antes pero una corriente total mayor, por lo que la resistencia total (equivalente) tendría que ser menor (ya que de V = IR para que V sea el mismo si obtengo R más grande debe hacerse más pequeño).

El inverso de la resistencia es la conductancia. En el circuito en serie, agrega toda la resistencia y ve la resistencia total.... En el circuito en paralelo, agrega toda la conductancia y ve la conductancia total, y luego la invierte nuevamente para convertirla en la resistencia equivalente... Simple.

Cuando están en serie, toda la corriente encuentra ambas resistencias. Cuando están en paralelo, alguna corriente se encuentra con cada resistencia. Exactamente la cantidad de corriente que fluye a través de cada uno depende del voltaje a través de ellos, y cuando haces los cálculos para el sistema, terminas con el mismo resultado que la ecuación en la pregunta.

Supongamos que tenemos 4 resistencias (R1, R2,R3 y R4) y una batería que puede suministrar V voltios.

Nuestros cables son conductores perfectos (sin resistencia, por lo que no hay caídas de voltaje) y nuestra batería es una batería perfecta (sin resistencia interna, por lo que puede suministrar tanta corriente como necesitemos sin cambiar el voltaje de sus terminales)

Construimos dos circuitos, uno solo con conexiones en serie y otro solo con conexiones en paralelo. Lo que queremos encontrar es el valor de una sola resistencia (equivalente) que reemplazaría a todas las demás resistencias en esos circuitos y tendría exactamente el mismo efecto.

(1) Conexión en serie:

La corriente a través de cada resistencia (Is) debe ser la misma.

¿Por qué? Porque lo que entra en un extremo de la resistencia debe salir por el otro, de lo contrario, la resistencia tendría que almacenar o suministrar carga, lo que físicamente no puede hacer.

La energía se pierde (como calor) en cada resistencia porque 'resiste el flujo de carga (es decir, 'una resistencia'). Esta pérdida de energía (potencial) de la carga eléctrica se puede medir como una caída de voltaje en cada resistencia individual del circuito.

Las resistencias no producen voltaje ni generan corriente, por lo que la suma de todas estas caídas de voltaje individuales en cada resistencia debe ser igual (exactamente) al voltaje de suministro de la batería, V.

Cada caída de tensión (V1, V2, etc.) puede ser (y normalmente lo es) diferente. Es proporcional al tamaño relativo de la resistencia en ese circuito, las resistencias de igual tamaño producirán la misma caída de voltaje.

esto nos da

        V  = V1+V2+V3+V4  and is known as Kirchoff's voltage rule (or law)

También sabemos que cada caída de voltaje también se puede calcular usando la ley de Ohm (V = IR)

Entonces V = IsR1 + IsR2 + IsR3 + IsR4

          V  =  Is (R1 + R2 + R3 + R4) 

Supongamos que ahora sustituimos UNA RESISTENCIA (Rs) que produjo exactamente la misma corriente que el circuito en serie (Is).

Por la ley de Ohm V = Is (Rs )

pero también sabemos que V = Is (R1 + R2 + R3 + R4)

Comparando las dos ecuaciones podemos ver que

            Rs    = R1 + R2 + R3 + R4

Si luego repetimos el experimento con N resistencias (donde N es un número entero positivo distinto de cero) obtenemos:

            Rs     = R1 + R2 + R3 + R4 + ... RN  

es decir, la resistencia simple equivalente para reemplazar cualquier número de resistencias conectadas en serie es simplemente la SUMA de todas las resistencias.

(2) Conexión en paralelo

Partiendo de la misma batería (V) y resistencias (R1,R2,R3,R4) las conectamos en paralelo.

En este caso, la corriente en cada rama es diferente PERO el voltaje en cada resistencia es el mismo (= V). Lo que sabemos es que la corriente total suministrada por la batería (Ip) debe ser exactamente igual a la suma de todas las corrientes. (Todo lo que entra tiene que salir). Esto se conoce como la regla o ley actual de Kirchoff.

             Ip   =   I1 + I2 + I3 + I4

Por la ley de Ohm (V=IR) podemos calcular fácilmente cada corriente (I = V/R)

             Ip   =   V/R1  + V/R2  + V/R3 + V/R4

             Ip   =   V ( 1/R1  + 1/R2  + 1/R3  + 1/R4)

Una vez más, podemos sustituir una sola resistencia (Rp) que produciría exactamente la misma corriente, Ip, de la batería.

             Ip   =   V/Rp

Combinando las dos ecuaciones obtenemos

             V/Rp  =   V ( 1/R1  + 1/R2  + 1/R3  + 1/R4)

El voltaje se cancela y obtenemos

              1/Rp  =    1/R1  + 1/R2  + 1/R3  + 1/R4  

Si luego repetimos el experimento con N resistencias (donde N es un número entero positivo distinto de cero) obtenemos

              1/Rp  =    1/R1  + 1/R2  + 1/R3  + 1/R4  +  ... 1/RN

es decir, el recíproco de una sola resistencia equivalente que reemplaza cualquier número de resistencias conectadas en paralelo es la suma de todos los recíprocos de cada resistencia individual.

Finalmente, ¿todo esto tiene sentido? (verificación de la realidad)

Las conexiones en serie hacen que el valor de resistencia equivalente sea mayor que cualquier valor individual.

Sí. por ejemplo, si duplicamos la longitud de un trozo de alambre, esperaríamos que duplique su resistencia. (porque la resistencia es directamente proporcional a la longitud de un conductor)

Las conexiones en paralelo hacen que el valor de la resistencia equivalente sea menor que cualquier valor individual.

Sí. Por ejemplo, el uso de alambre más grueso colocando en paralelo dos hebras idénticas de alambre delgado produce la mitad de la resistencia de una sola hebra delgada. (porque la resistencia es inversamente proporcional al área de la sección transversal del conductor).