Conversión entre circuitos en serie y en paralelo

Determinar la impedancia de este circuito requiere la implementación de la herramienta adecuada. Si usa el análisis de fuerza bruta, simplemente considerando la combinación serie-paralelo, puede terminar rápidamente con una parálisis algebraica para citar al Dr. Middlebrook, quien forjó el teorema del elemento adicional o EET del que derivan las técnicas de circuito analítico rápido o FACT .

El principio es simple: determine las constantes de tiempo del circuito cuando se observa en dos condiciones diferentes. Cuando la excitación se pone a cero, determina las constantes de tiempo naturales para el circuito desconectando temporalmente cada elemento de almacenamiento de energía y "mirando" a través de sus terminales de conexión para determinar la resistencia.$R$. Luego forma una constante de tiempo$\tau$igual a cualquiera$RC$o$\frac{L}{R}$. Asociando todas estas constantes de tiempo naturales formaremos el denominador$D(s)$.

En la segunda condición, la excitación vuelve a su lugar y se determina la resistencia "vista" a través de los terminales de conexión de los elementos de almacenamiento de energía considerados, pero cuando la respuesta es nula. Estas constantes de tiempo recién determinadas se ensamblarán para formar el numerador$N(s)$.

En este ejercicio, para determinar la impedancia de entrada, el estímulo será una fuente de corriente mientras que la respuesta será el voltaje desarrollado entre sus terminales. Para poner a cero la excitación, apagamos la fuente de corriente o simplemente la abrimos. Luego, "miramos" la resistencia que ofrece el elemento de almacenamiento de energía. Esto es lo que se muestra en los siguientes bocetos:

Para los primeros esquemas, se determina una constante de tiempo mientras los demás elementos se dejan en sus estados de cd: inductor en cortocircuito y capacitores abiertos. Luego, para la constante de tiempo de segundo orden, un elemento se establece en su estado de alta frecuencia mientras "mira" los terminales considerados para determinar la resistencia. Cuando lees$\tau_{12}$, implica que el elemento 1 está configurado en su estado de alta frecuencia (inductor en circuito abierto y capacitor en cortocircuito) mientras observa la resistencia que ofrecen los terminales del elemento 2.$\tau_{123}$significa que 1 y 2 están en su estado de alta frecuencia mientras observa la resistencia que ofrecen los terminales de 3.

Para los ceros, es un poco más complicado. Realiza operaciones similares mientras se anula la respuesta. Una respuesta anulada en la fuente de corriente es similar a reemplazar la fuente de corriente por un cortocircuito. Aquí vamos, cortamos la fuente actual y repetimos las mismas operaciones que hicimos para las constantes de tiempo naturales.

Las expresiones resultantes se calculan en la siguiente hoja de Mathcad. Como puede ver, no hay ecuaciones, solo inspeccionando pequeños dibujos. Si comete un error al final, simplemente arregla el dibujo culpable y corrige las constantes de tiempo correspondientes. Con el análisis de fuerza bruta, cuando detectas un error, gritas, maldices (¡lo hago!) y tiras el borrador a la pared :)

Luego, el ejercicio consiste en reorganizar la función de transferencia en bruto que, por cierto, ya se presenta en forma normalizada: esta es otra fortaleza de los FACT. He aproximado el denominador de tercer orden como el producto de un polo de baja frecuencia y un polo doble de alta frecuencia. Otra factorización en el numerador conduce a un cero con un término principal. La comparación del polo y el cero muestra que están muy cerca y, por lo tanto, se compensan: desaparecen de la ecuación. Realice otra factorización y obtendrá la expresión de impedancia de entrada de baja entropía :

$Z_{in}(s)=H_{peak}\frac{1}{1+\frac{\omega_0Q}{s}+\frac{sQ}{\omega_0}}$

El término principal$H_{peak}$lleva la unidad de$\Omega$y eso es lo que quieres. La expresión que derivé es:

Como puede ver, ambas expresiones conducen exactamente a la misma respuesta. Sin embargo, la expresión que proporcionó es una versión muy compacta y felicitaciones a su autor.

La imagen completa está aquí:

La trama se dan aquí. Comparan la expresión de fuerza bruta con la obtenida con los FACT y la versión final factorizada. Todos ellos están en excelente acuerdo. Una simulación SPICE con una gran cantidad de puntos por década (10000) confirma el valor máximo exacto calculado por Mathcad.

Este es un ejemplo típico donde los FACT son la herramienta más simple y rápida que se pueda imaginar. Romper el circuito en una sucesión de dibujos simples que inspecciona en lugar de resolverlo mediante ecuaciones es una gran ventaja en comparación con otros métodos. Finalmente, se necesita cierta habilidad para reordenar adecuadamente la expresión final y develar un término principal pero nada insuperable. ¡Vive los HECHOS!