Potencial químico

considere el gran conjunto canónico,

Mientras la señal de$N$está bien definido, el signo del potencial químico también está bien definido.

Ahora, para los bosones,$\mu$no puede ser positivo porque la distribución sería una función exponencialmente creciente de$N$. Tenga en cuenta que en el gran conjunto canónico, que es realmente el conjunto en el que$\mu$está claramente definida - la variable dual a$\mu$, a saber$N$, no está claramente definida. Sin embargo, la probabilidad de que sea cada vez mayor - infinito$N$sería más grande, por lo que la distribución alcanzaría su punto máximo en$N=\infty$. Tal distribución no podría estar bien definida. Queremos, en el límite termodinámico, el gran conjunto canónico, suponiendo un$\mu$, también generan un número finito y casi bien definido$N$, dentro de un margen de error que tiende a cero en el límite termodinámico. Eso no podría suceder para los bosones y un positivo$\mu$.

Esta catástrofe sería posible porque$N=\sum_i n_i$, una suma sobre microestados$i$, y cada$n_i$puede ser un número entero arbitrariamente alto para los bosones. Para los fermiones, el problema no ocurre porque$n_i=0$o$1$para cada estado$i$. Entonces, para los fermiones, no podemos argumentar que$\mu$tiene que ser positivo. Tenga en cuenta que$E-\mu N$en el exponente es la suma$\sum_i N_i (e_i-\mu)$. Para los bosones, el problema ocurrió para estados para los cuales$e_i-\mu$fue negativo, es decir$e_i$era lo suficientemente bajo. Sin embargo, para los fermiones, el número de dichos estados, y por lo tanto el número máximo de fermiones en ellos, es finito, por lo que la divergencia no ocurre si el potencial químico es positivo. Para fermiones, positivo$\mu$está bien

De hecho, para los fermiones, tanto positivos como negativos$\mu$está bien Además, es fácil ver que si existen tanto partículas como antipartículas,$\mu$de la antipartícula tiene que ser menos$\mu$de la partícula porque sólo la diferencia$N_{\rm particles} - N_{\rm antiparticles}$se conserva; esto es cierto tanto para bosones como para fermiones.

Entonces, si el potencial de los electrones es positivo, el potencial de los positrones o los huecos (que juegan exactamente el mismo papel) tiene que ser negativo, y viceversa.

Nada cambia sobre el significado del potencial químico cuando uno cambia de la física clásica a la física cuántica: de hecho, arriba, asumí que hay "estados discretos" para las partículas, al igual que en la física cuántica; de lo contrario, no estaríamos hablando de bosones y fermiones que solo son relevantes en la configuración cuántica. La física clásica es un límite de la física cuántica en el que el número de estados es infinito porque$\hbar$va a cero, por lo que un número finito de partículas nunca termina en "exactamente el mismo estado". En cierto sentido, Ludwig Boltzmann, mientras trabajaba en el contexto de la física estadística clásica, utilizaba inherentemente el pensamiento y la intuición de la física estadística cuántica; fue un "antepasado" verdaderamente ingenioso de la física cuántica.

En relatividad, hay que tener cuidado con cómo definimos la energía de un estado. Tenga en cuenta que la combinación físicamente significativa que aparece en el exponente es$e_i-\mu$, así que si uno cambia$e_i$por ejemplo, por$mc^2$, la energía latente, uno tiene que cambiar$\mu$en la misma dirección en la misma cantidad. Las nociones de potencial químico obviamente también funcionan en relatividad. La física relativista no es un "tipo de física completamente nuevo". Es solo un tipo de la vieja física que respeta una simetría: la simetría de Lorentz.

Nuevamente, en la teoría cuántica de campos que combina tanto la mecánica cuántica como la relatividad, la física estadística, incluida la noción de potencial químico, también funciona, pero se debe tener cuidado de que se puedan crear pares de partículas-antipartículas con suficiente energía. eso implica$\mu_{p}=-\mu_{np}$, como ya he dicho.

No puede haber ninguna prohibición general sobre un potencial químico negativo de los fermiones: fermiónico$\mu$puede tener ambos signos. Sin embargo, en la teoría particular que Allan quería describir, podría haber tenido razones más detalladas por las que$\mu$debería haber sido positivo para sus fermiones. Me temo que esta sería una pregunta completamente diferente y más específica, una sobre superconductores. Como se indicó, su pregunta anterior era sobre física estadística y tiendo a creer que el texto anterior agota todos los hechos universales sobre el signo del potencial químico en la física estadística.

Creo que las respuestas anteriores son buenas y correctas. Son demasiado largos para mi gusto. Aquí hay una respuesta más "simple" (según yo, por supuesto). Solo para partículas que no interactúan para mantenerlo simple:

• Cuando hablamos de potencial químico, estamos hablando de un sistema en contacto con un enorme reservorio de partículas. Estas partículas pueden ir y venir del reservorio a nuestro sistema. La energía del depósito (libre) por partícula es el potencial químico$\mu$.

• Suponemos equilibrio: el subsistema está en equilibrio con el embalse. Esto significa que el sistema combinado tiene la energía libre más baja (o la entropía más alta), y así es como se organizan las partículas.

• Ahora digamos que el estado de energía más bajo del subsistema es$E_0$en el que pueden ir las partículas. Medimos el potencial químico$\mu$con respecto a este número. Me refiero al valor "cero" para el potencial químico.$\mu$es una especie de convención en la que asumimos que el estado de energía más bajo tiene valor cero.

• Para reducir la energía libre total, una partícula del depósito pasaría felizmente a este estado si$E_0$<$\mu$. Para los fermiones, esto solo llena el estado.$E_0$y luego pasaríamos al siguiente estado de mayor energía$E_1$; si$E_1$<$\mu$, llénalo y sigue adelante. Entonces ves que en algún momento te detienes desde$E_n$>$\mu$para algunos$n$. Pero para los bosones hay problemas si$E_0$<$\mu$, puedes seguir poniendo más y más partículas en$E_0$del depósito, cada transferencia reduce la energía libre total, y sigues y sigues... hasta que el depósito está vacío, lo que no tiene sentido. Entonces, básicamente, esta situación no es sostenible con un depósito real. O$\mu$<$E_0$y tienes un número finito de partículas en$E_0$, o no puede tener un reservorio y obtiene una población fija de partículas en$E_0$. No se puede tener un reservorio en contacto con un sistema donde$\mu$>$E_0$. Simplemente es contradictorio. En la práctica lo que significa es$\mu$puede estar bastante cerca de$E_0$y uno obtendría una ocupación macroscópica del estado fundamental (condensación de Bose) pero no exactamente igual o mayor para tener un depósito con el que intercambiar partículas.

Supongo que eso lo resume todo para mí.

En las sustancias ordinarias, tenemos el sistema en equilibrio térmico con el ambiente y con un número fijo de partículas. Sin embargo, vamos al gran sistema canónico por eficiencia, donde no tenemos que restringirnos a un número de partículas fijo.$N_{0}$, y eso simplifica enormemente los cálculos. En esto, el sistema se acopla al medio ambiente que se mantiene a una temperatura fija$T$y potencial químico$\mu$.

En realidad, en nuestro problema actual, estamos en un sistema "canónico", y las cantidades$T$y$N_{0}$está arreglado. Sin embargo, vamos al gran sistema canónico y trabajamos con un potencial químico.$\mu$, junto con el fijo$T$, que se asegura de producir un$\textbf{average particle number} \ <N>$igual a$N_{0}$, en el gran sistema canónico. Así, el potencial químico se manifiesta de forma artificial.

En cierto modo, tenemos dos grados de libertad, en realidad$T$y$N_{0}$, pero optamos por trabajar con parámetros independientes$T$y$\mu$mientras obtenemos nuestros resultados de la gran teoría canónica.

Ahora, en el gran conjunto canónico, cada estado caracterizado por una energía total particular$E$y número total de partículas$N$, tiene la probabilidad de aparecer

Ahora, tratemos primero con los fermiones: como$T\rightarrow 0$, la probabilidad de tener estados de mayor energía se vuelve insignificante. Sin embargo, con$\mu>0$como$T\rightarrow 0$, las probabilidades se vuelven exponencialmente mayores a medida que agregamos más partículas. Combinando los dos hechos, predominantemente terminamos con estados con energía total simultáneamente "baja" y con un número "alto" de partículas. (El uso de los términos "alto" y "bajo" es subjetivo, pero debe quedar claro por el contexto). Pero esto no da una contribución divergentemente grande para los fermiones, porque con una energía total "pequeña" particular, debido al Principio de Exclusión de Pauli, el número total de partículas no puede exceder un cierto valor. Por lo tanto como$T\rightarrow 0$, estamos obligados a tener un valor positivo de$\mu$. Solo hay tantos estados que dan una contribución significativa. [Ver nota al final.]

Si terminamos promediando los estados que contribuyen, encontraremos que producen un número promedio dado de partículas.$N_{0}$, con una elección adecuada de$\mu(T=0)$. (Eso es, por supuesto, exactamente lo que se hace).

Ahora como la temperatura$T$aumenta, los estados de mayor energía comienzan a ser más probables, y si$\mu$si se mantuviera constante o aumentara, comenzaríamos a tener un problema, ya que habría más estados con más energía y más número de partículas que darían una contribución significativa, y por lo tanto el número promedio de partículas$<N>$en el sistema se dispararía. Pero, por supuesto, el objetivo es mantener el número de partículas$<N>=N_{0}$,una constante. Así tenemos que postular que$\mu$disminuye y se vuelve negativo (muy rápidamente, como argumentaremos en un momento).

Cuando$T$es muy grande y por lo tanto$\beta$es muy pequeño, argumentamos que$\mu$es negativo, lo que escribimos como$\mu=-|\mu|$, y así, ahora,

Como$\beta\rightarrow 0$, los estados de mayor energía son más probables, pero debemos asegurarnos de que$|\mu|$aumenta a un ritmo tremendamente rápido, de modo que$-\beta|\mu|$es una cantidad negativa muy grande (incluso cuando$\beta\rightarrow 0$) de modo que los estados con un número muy alto de partículas dan una contribución muy despreciable. Por lo tanto, solo contribuyen los estados con un amplio espectro de energías y simultáneamente con un bajo número de partículas. Para que esto sea posible, nuevamente, esto daría en promedio, el mismo valor para el número promedio de partículas$<N>=N_{0}$en el sistema (ver la Nota al final).

Por lo tanto, para todas las temperaturas, para mantener constante el número de partículas, esencialmente, terminamos variando$\mu$adecuadamente.

El argumento del límite de alta temperatura también es el mismo para los bosones, pero como se señala en la respuesta de Lubos Motl, cuando$T\rightarrow 0$, absolutamente no podemos tener un valor positivo de$\mu$porque el principio de exclusión de Pauli no se cumple para los bosones, y obtendríamos una divergencia violenta para el promedio$<N>$como$T\rightarrow 0$. Por lo tanto, para los bosones, necesitamos comenzar con un valor de$\beta\mu=0$como$\beta\rightarrow \infty$.

[De hecho, hay divergencia, no obstante, para$T\leq T_{critical}$y estrictamente hablando, nuestro formalismo es válido solo para valores de temperatura por encima del (muy pequeño) valor crítico.$\beta\mu\approx 0$a$T=T_{critical}$, y formalmente, también se toma$0$para todos los valores de$T$por debajo del valor crítico. Por ejemplo, como se muestra en Pathria Figura 7.2.]

Por lo tanto, en general, en el caso de fermiones y bosones, podemos usar el número de partículas promedio$<N>$que obtenemos, como el valor del valor fijo real de$N_{0}$en el problema original.

[Nota: aquí, básicamente estamos usando un argumento de densidad de estados para estados simultáneamente en una energía total particular$E$y totales particulares$N$valor. Después de obtener la probabilidad de que aparezca el estado a partir de la fórmula estándar de probabilidad de estados (que es el resultado de la maximización de la entropía, en cierto modo), necesitamos averiguar cuántos estados de este tipo hay realmente, a partir de la densidad de estados, como una función simultáneamente de$E$y$N$. En principio, eso puede estimarse a partir de la densidad de partículas individuales de los estados, esencialmente un argumento combinatorio].

De hecho, los bosones pueden tener un potencial químico mayor que cero. Esto no conduce a una divergencia en la ocupación de los diferentes niveles de energía siempre que el sistema considerado tenga una brecha de energía. Esto significa que la energía de partícula más baja también debe ser cero mayor. De hecho, esto se demostró en un gas magnón. Además, si el potencial químico alcanza el valor positivo del estado de energía más bajo en el sistema, se puede observar la condensación de magnones de Bose-Einstein.

Ver: Demokritov et. al., nature 443 , 430 (2006) Título: Condensación de Bose-einstein de magnones cuasi en equilibrio a temperatura ambiente bajo bombeo

Por supuesto, también podría redefinir el potencial químico, pero ¿por qué debería uno hacer esto? En este caso destruirías la universalidad de la teoría, y simplemente no es necesario. Solo hay que admitir que el potencial químico puede volverse positivo incluso para los bosones.