Amplitud de una onda electromagnética que contiene un solo fotón

Question

Amplitud de una onda electromagnética que contiene un solo fotón

Andrey S.

Dado un pulso de luz en el vacío que contiene un solo fotón con una energía $E=h\nu$ , ¿cuál es el valor máximo del campo eléctrico/magnético?

usuario4552

relacionado: physics.stackexchange.com/q/437/4552

jw_

@Ben Crowell ¿La función de onda de un solo fotón es lo mismo que la onda EM correspondiente al fotón único?

Respuestas (8)

Amplitud de una onda electromagnética que contiene un solo fotón

@Ben Crowell ¿La función de onda de un solo fotón es lo mismo que la onda EM correspondiente al fotón único?

martí · Answer 1

Los campos eléctricos y magnéticos de un solo fotón en una caja son, de hecho, muy importantes e interesantes. Si fija el tamaño de la caja, entonces sí, puede definir el valor máximo del campo magnético o eléctrico. Es un concepto que surge en la cavidad QED, y fue importante para el Premio Nobel de Serge Haroche este año (junto con otros investigadores). En ese experimento, su grupo midió el campo eléctrico de fotones individuales y unos pocos atrapados en una cavidad. Es un campo muy popular en este momento.

Sin embargo, para tener una energía bien definida, debe especificar un volumen. En un láser, encuentra un campo eléctrico para un flujo de fotones ( n fotones por unidad de tiempo), pero si limita el fotón a una caja, obtiene un campo eléctrico por fotón. Te mostraré los segundos cálculos porque es más interesante.

Ponga un solo fotón en una caja de volumen $V$ . La energía del fotón es $\hbar \omega$ (o $\frac{3}{2} \hbar \omega$ , si cuenta la energía de punto cero, pero para este cálculo aproximado ignoremos eso). Ahora, equipare eso con la energía clásica de un campo magnético y eléctrico en una caja de volumen $V$ :

ℏ ω = \frac{ϵ_{0}}{2} | \vec{mi} |^{2} V + \frac{1}{2 m_{0}} | \vec{B} |^{2} V = \frac{1}{2} ϵ_{0} {mi}_{cima}^{2} V

$\hbar \omega = \frac{\epsilon_0}{2} |\vec E|^2 V + \frac{1}{2\mu_0} |\vec B|^2 V = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_\textrm{peak}^2 V$

Hay un factor adicional de $1/2$ porque, por lo general, estamos considerando una onda estacionaria. Además, he establecido que las contribuciones magnéticas y eléctricas sean iguales, como debería ser cierto para la luz en el vacío. Un problema interesante y relacionado es el efecto de un solo fotón en un solo átomo contenido en la caja, donde la energía del átomo es $U = -\vec d \cdot \vec E$ . Si esto suena interesante, busque el régimen de acoplamiento fuerte , la división de Rabi en el vacío o la electrodinámica cuántica de cavidades . Por cierto, las fluctuaciones del campo eléctrico de los fotones (¡o la falta de ellos!) en el vacío son responsables del cambio de Lamb, un cambio pequeño pero medible en las energías del átomo de hidrógeno.

¿Cómo se define el volumen? ¿No cambiaría el tamaño del volumen la energía total del fotón si es igual a E=hf?

usuario1504 · Answer 2

usuario1504

Esta es una pregunta razonable, pero la respuesta probablemente no sea la que esperas: los campos eléctricos y magnéticos no tienen valores bien definidos en un estado con un número fijo de fotones. Los operadores de campo eléctrico y magnético no conmutan con el operador numérico que cuenta los fotones. (No pueden, porque son componentes de la derivada exterior del operador de potencial de campo, que crea/aniquila fotones). La falta de conmutatividad implica a través del principio de incertidumbre de Heisenberg que el campo puede tener valores arbitrariamente grandes.

ana v

Sería bueno tener un enlace (a los operadores de campo eléctrico y magnético) para nosotros que estamos renovando nuestro conocimiento.

Juan Rennie

Clásicamente, cualquier paquete de ondas no tendrá una sola frecuencia. Necesita una onda infinitamente larga para obtener una sola frecuencia. @ user1504 ¿esto está relacionado con su respuesta?

martí

Anna V: el campo electromagnético cuántico tiene operadores análogos al oscilador armónico. En lugar del hamiltoniano

H = p^{2} + x^{2}

$H = p^2 + x^2$ (Dejo las unidades aquí) y energía

(\frac{1}{2} + n) ℏ ω

$(\frac{1}{2} + n) \hbar \omega$ , escribimos un hamiltoniano para cada frecuencia

ω

$\omega$ :

H = \frac{ϵ_{0}}{2} E^{2} + \frac{1}{2 μ_{0}} B^{2}

$H = \frac{\epsilon_0}{2} E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$ , dónde

E

$E$ y

B

$B$ se tratan como operadores cuánticos conjugados (al igual que

x

$x$ y

p

$p$ ). Encontramos operadores de creación y aniquilación tales que

E = a^{†} + a

$E = a^\dagger + a$ y

B = a^{†} - a

$B = a^\dagger - a$ , entonces la energía debe ser

(\frac{1}{2} + n) ℏ ω

$(\frac{1}{2} + n) \hbar \omega$ .

⟨ E ⟩

$\langle E \rangle$ está bien definido.

Vladímir Kalitvianski

El valor máximo depende del tamaño del paquete de onda. Suponiendo un tamaño muy grande en el vacío, se obtiene una amplitud muy baja, pero dicho fotón se absorbe de todos modos con un resonador. Se necesita más tiempo para bombear un resonador (un átomo, por ejemplo).

usuario1504

@emarti: Gracias por agregar esos detalles. Andrey.Baj: Deberías aceptar la respuesta de emarti. Me estaba divirtiendo siendo pedante, pero la respuesta de emarti es mejor física.

ana v

Bueno, faltaba una V en la fórmula en la respuesta de emarti que Vladimir editó. Además, la pregunta no se trata de un fotón en una caja.

usuario1504

@annav: Honestamente, sospecho, dada la edad y la novedad del OP en el intercambio de pilas, la época del año y la brevedad de la pregunta, que esta fue una pregunta de examen o tarea algo mal planteada. La respuesta de Emarti es una mejor respuesta a la pregunta que debería haberse hecho.

ana v

ah Debería haber revisado el perfil. Probablemente tengas razón.

Andrey S.

@ user1504 Esta no es una pregunta de tarea, lo pensé yo mismo. Desafortunadamente, solo tengo un poco de experiencia en mecánica cuántica, por lo que la mayoría de los detalles técnicos de las respuestas no están claros para mí en este momento. Espero que más adelante en mis estudios me ponga al día. Mientras tanto, creo que he entendido la idea general. Cuando el fotón se localiza en una caja, podemos calcular los valores máximos del campo electromagnético a partir del volumen de la caja y la energía del fotón. Cuando no está localizado, dada solo la energía, no podemos hacerlo. Puede tomar valores arbitrariamente grandes, con cierta probabilidad. ¿Estoy en lo correcto?

usuario1504

@andrey.baj: Me alegra saber que mi suposición fue incorrecta. Y sí, básicamente tienes razón. Si tiene un fotón que está aproximadamente localizado tanto en la posición como en el espacio de momento, puede estimar los valores de campo esperados más grandes. Pero te meterás en problemas si asumes que la energía del fotón es perfectamente conocida.

abeto

Técnicamente, la no conmutatividad no implica la posibilidad de valores grandes arbitrarios (piense en proyecciones de momento angular, por ejemplo). Justo aquí ambos son ciertos.

jw_

@ user1504 ¿Por qué esta no es una buena pregunta? Quiero preguntar cuál es el campo EM de un solo fotón que vuela en el vacío que contiene esta pregunta y no sé por qué el OP solo preguntó sobre la amplitud. La respuesta no debe aceptarse ya que la pregunta no se trata de ninguna caja. Su respuesta parece ser la mejor si es correcta. ¿Puede proporcionar algunas referencias?

usuario1504

@jw_ Cualquier libro sobre QED le dará el potencial del campo electromagnético en términos de operadores de creación y aniquilación. Diferencie apropiadamente para obtener los campos eléctrico y magnético en términos de operadores de creación/aniquilación. Luego calcule el conmutador. No conozco ningún libro que específicamente haga esto, pero es un ejercicio fácil.

steven sagona · Answer 3

@charles Fransis señala correctamente que el valor esperado del campo eléctrico es cero. (eso es, $\langle 1|E|1 \rangle = 0$ )

Y para citar a @user1504 (también declarado por @vadim):

Los operadores de campo eléctrico y magnético no conmutan con el operador numérico que cuenta los fotones. (No pueden, porque son componentes de la derivada exterior del operador de potencial de campo, que crea/aniquila fotones). La falta de conmutatividad implica a través del principio de incertidumbre de Heisenberg que el campo puede tener valores arbitrariamente grandes.

Entonces sí, sabemos que dado que el operador de número de fotones no conmuta con el operador de campo E, sabemos que E es incierto. Pero hablando de manera realista, ¿puede un fotón realmente tener una amplitud de campo E arbitrariamente alta? Podría en el mismo sentido que un electrón acotado podría aparecer en la luna porque su función de onda tiene algún componente diminuto.

La respuesta es que un fotón tiene una distribución de probabilidad única que se ve así:

Lo cual, en comparación con si solo hubiera vacío:

Así que aquí podemos ver visualmente la amplitud de un campo eléctrico que realmente esperamos ver, con el vacío como referencia. Si bien el valor promedio es cero, el valor absoluto de esa amplitud es ciertamente mayor que el valor absoluto del vacío y está alrededor del FWHM (ancho completo, mitad del máximo) de la distribución del vacío. (o mirándolo, aproximadamente el doble del valor del vacío en promedio)

Esta es una característica que se mide con mucha frecuencia en los fotones individuales (consulte este artículo para ver una versión clásica y este para ver algo más moderno), y esta distribución de probabilidad (cuando se mide el campo eléctrico de un fotón) se usa a menudo para identificar si el campo cuántico el estado de la luz es (o no es) un fotón único "puro".

Para ver esto más claramente, un estado coherente, al observar las estadísticas a medida que cambia la "fase" de la luz, se vería así:

(que es básicamente $\cos(\omega t)$ con ruido gaussiano). En comparación, un estado de un solo fotón se ve así:

Y aquí vemos que cambiar una "fase" no le hace nada a un "fotón único" (que puede tener que ver con fotones únicos que no tienen una fase bien definida).

Aquí hay un ejemplo en el experimento vinculado:

(¡en este caso, el eje x es el TIEMPO, no la fase!) Los pulsos con un retardo de tiempo específico se envían a un detector homodino (que mide el campo E). Aquí puede ver eso para un valor temporal específico asociado con cuando el fotón golpea el detector (repetido para múltiples mediciones). El valor del campo eléctrico tiene una nueva distribución y se ve la caída en cero.

Es $\langle E |$ un estado propio del operador de campo eléctrico?
sí. me refiero al operador $\propto a^\dagger - a$ . En los libros de texto, a menudo se hace referencia a esto como la "cuadratura de posición" y creo que mucha gente (debido al lenguaje abstracto) no se da cuenta de que este operador es realmente la amplitud del campo eléctrico.
Si bien esta es una buena respuesta (+1), no creo que haya nada malo con las respuestas existentes. La respuesta aceptada describe cómo la amplitud depende del volumen de la cavidad, mientras que ésta describe las distribuciones de las amplitudes medidas en un solo punto. Así que realmente es la combinación de ellos lo que da la imagen completa.
@knzhou, si bien es cierto que puede aumentar efectivamente la fuerza de interacción al confinar un fotón en una cavidad, no me parece una forma natural de describir el campo E de un fotón. Los fotones rara vez están confinados en la naturaleza a cavidades de alta delicadeza, y solo responder la pregunta en este contexto no es útil para las personas que buscan comprender qué son realmente los fotones.
No, mi punto es que su respuesta no menciona en absoluto cuáles son las amplitudes típicas del campo eléctrico. ¿Cuántos voltios por metro es? Eso es lo que me imagino que le importa a la mayoría de las personas, y eso es lo que describe la respuesta aceptada.
Básicamente, comienza su respuesta escalando esa información. Los ejes de sus parcelas no tienen dimensiones, en lugar de voltios por metro. Es como si alguien me preguntara cuántos metros tiene un año luz y respondiera: "una forma natural de describir la longitud es en unidades naturales, donde un año luz equivale a un año".
@knzhou, los experimentos modernos que conozco usan las fluctuaciones del vacío como referencia para estimar la fuerza del campo eléctrico. (Aunque supongo que para los experimentos comprimidos utilizados para metrología, se podría considerar un valor real). Y no estoy seguro de cuál es el valor real en términos de V/m, pero lo pensaré. (Para un fotón de espacio libre, no creo que haya un volumen de cuantización obvio, así que no sé cuál sería).
El estado de fotón único no tiene densidad de probabilidad cero de valor de campo cero. Ha muestreado la densidad de probabilidad de un valor de modo único, en lugar del campo en sí.

Carlos Francisco · Answer 4

El campo electromagnético puede entenderse como la expectativa $\langle A(x) \rangle$ del operador de campo de fotones, $A(x)$ , que aniquila o crea un fotón en una interacción con un electrón (u otra partícula cargada), siempre que, por supuesto, esté presente una partícula cargada para que tenga lugar la interacción. Para un estado de un solo fotón $|\phi \rangle$ la acción de $A$ será aniquilar el fotón, o crear otro, lo que significa que el estado resultante es una superposición de estados con dos o ningún fotón. El producto interno con un estado de un fotón es cero y necesariamente tienes

⟨ A (X) ⟩ = ⟨ ϕ | A (X) | ϕ ⟩ = 0.

$\langle A(x) \rangle = \langle \phi | A(x) |\phi \rangle = 0.$

Lo que responde a la pregunta. La amplitud de tal estado es necesariamente $0$ . Solo obtienes un campo electromagnético clásico distinto de cero $\langle A(x) \rangle$ (incluida una onda electromagnética clásica) de estados que contienen un número indeterminado de fotones.

De manera equivalente, como dijo @ user1504

Los operadores de campo eléctrico y magnético no conmutan con el operador numérico que cuenta los fotones.

En otras palabras, para un estado con un número definido de fotones, no tiene sentido hablar del campo eléctrico o magnético clásico, o de una onda electromagnética clásica.

Ha encontrado el valor esperado que es cero incluso clásicamente. Si, en cambio, encuentra el valor esperado de la amplitud real del campo, como se solicita en el título de la pregunta, en lugar de su valor instantáneo, es decir, encuentre $\langle \sqrt{A^2}\rangle$ o solo $\langle A^2\rangle$ —Deberías obtener un valor distinto de cero.
@Ruslan, está confundiendo el operador de campo de fotones, que no tiene amplitud, con el campo em clásico, que es la expectativa del operador de campo de fotones. ¡Clásicamente, necesitaría calcular la expectativa de la expectativa del operador de campo de fotones!
¿A qué cantidad corresponde este operador? ¿No es campo eléctrico/campo magnético/4-potenciales?
@Ruslan, un operador no es una cantidad. Actúa sobre el espacio de Fock de fotones. Para obtener una cantidad clásica, podemos formar la expectativa como en la respuesta. Esta expectativa es la clásica. $A$ campo.
OK, no veo ninguna contradicción con mis comentarios hasta ahora. En QM ordinario no relativista podemos, por ejemplo, formar el operador de energía cinética multiplicando el operador de momento por sí mismo (y escalando por una constante). Luego, su elemento de matriz diagonal dará el valor promedio de la cantidad correspondiente. ¿Por qué no podemos hacer lo mismo con el $A$ -¿operador de campo?

roger vadim · Answer 5

La amplitud de una onda electromagnética no conmuta con el número de fotones . Un estado con un solo fotón es un estado propio del operador de número de fotones:

{norte}_{k, λ} | 1_{k, λ} ⟩ = a_{k, λ}^{†} a_{k, λ} | 1_{k, λ} ⟩ = | 1_{k, λ} ⟩ .

$n_{\mathbf{k},\lambda}|1_{\mathbf{k},\lambda}\rangle=a^\dagger_{\mathbf{k},\lambda}a_{\mathbf{k},\lambda}|1_{\mathbf{k},\lambda}\rangle=|1_{\mathbf{k},\lambda}\rangle.$ Por otro lado, los estados que tienen un valor definido de amplitud (ya sea que se hable de campo eléctrico, campo magnético o potencial vectorial) se parecen más a los operadores de posición y momento del oscilador cuántico, correspondientes al modo cuántico dado, es decir, no conmutar con el operador numérico:

\hat{mi} = {mi}_{0} a_{k, λ} + {mi}_{0}^{*} a_{k, λ}^{†}

$\hat{E} = E_0a_{\mathbf{k},\lambda} + E_0^* a_{\mathbf{k},\lambda}^\dagger$ ( ver, por ejemplo, la Wikipedia para las expresiones de los coeficientes

E_{0}

$E_0$ . ) Así, el número de fotones y la amplitud del campo están relacionados a través de la relación de incertidumbre : si se mide uno de ellos, el otro puede tener cualquier valor. Más específicamente:

⟨ 1_{k, λ} | \hat{mi} | 1_{k, λ} ⟩ = 0, ⟨ 1_{k, λ} | {\hat{mi}}^{2} | 1_{k, λ} ⟩ = | {mi}_{0} |^{2} ⟨ 1_{k, λ} | 2 a_{k, λ}^{†} a_{k, λ} + 1 | 1_{k, λ} ⟩ = 3 | {mi}_{0} |^{2} .

$\langle 1_{\mathbf{k},\lambda}|\hat{E}|1_{\mathbf{k},\lambda}\rangle=0,\\ \langle 1_{\mathbf{k},\lambda}|\hat{E}^2|1_{\mathbf{k},\lambda}\rangle= |E_0|^2 \langle 1_{\mathbf{k},\lambda}|2a^\dagger_{\mathbf{k},\lambda}a_{\mathbf{k},\lambda}+1|1_{\mathbf{k},\lambda}\rangle = 3|E_0|^2.$

¿Es cierta esa afirmación sobre los estados coherentes? La función de onda de base de posición de cualquier estado coherente es solo el estado fundamental Gaussiano traducido por $x+ip$ . Los gaussianos tienen colas hasta el infinito.
@kaylimekay tienes razón, estos son más como estados de posición e impulso.

daniel lyon · Answer 6

La onda de un solo fotón podría tener diferentes formas, en realidad, por lo que el máximo del campo eléctrico sería imposible de calcular dados los parámetros anteriores. Puede ser muy corto con un campo eléctrico muy alto o muy largo con un campo eléctrico bajo. O lo que sea. Esa luz viene en "pedazos" ya que los fotones no te restringen.

Supongamos que la energía de una ola del océano fuera hv... entonces, ¿qué altura tiene? Bueno, dependería del ancho y otros factores... como el oleaje viene en olas, la luz viene en fotones, pero no sabríamos la forma exacta de la pregunta.

9herbert9 · Answer 7

Si un átomo emite energía hf , también emite un momento angular (spin). Esa combinación se llama "fotón" o "paquete de ondas". Vinculando las fórmulas apropiadas de las ondas QM y E&M, obtiene el diámetro del paquete de ondas (alrededor de λ/2) pero no la longitud. El radio y la dirección de propagación no cambian mientras el paquete de ondas no sea perturbado. No está encerrado en una caja sino que se propaga en el vacío.

Si se acepta la longitud de coherencia L como la longitud del paquete de ondas cilíndrico, puede calcular la densidad de energía u~f³/ L y la intensidad del campo eléctrico E~sqrt(f³/ L ), que es constante dentro del cilindro.

Obtuve los siguientes resultados: a) La línea de Hidrógeno a 1420 MHz tiene FWHM≈5 kHz, L≈60,000 m, E≈1e-8 V/m

b) La línea D de sodio tiene FWHM≈10 MHz, L≈6 m, E≈220 V/m

c) rayos X, λ≈1e-12 m, L≈1000λ, E≈1e16 V/m

Si elige una forma diferente, tal vez como un cigarro, esos valores difieren

users.df.uba.ar/schmiegelow/materias/FT2_2010_1C/extra/… Beth lo llamó ligero . Algunas personas insisten en que la luz consiste en fotones . Algunos dicen, luz = ondas electromagnéticas.
Puede estar cometiendo un error al confiar en un artículo experimental de 1936 como su fuente para la semántica de los fotones. En primer lugar, el documento es anterior a QED y, por lo tanto, se pierde una gran cantidad de trabajo importante sobre cómo debe entenderse un fotón y, en segundo lugar, los documentos experimentales tienden a brindar solo la teoría necesaria para esa medición y solo en la interpretación en la que la medición es más clara ( hablo como experimentador). Todos los teóricos calificados con los que he hablado sobre este tema sugieren precaución al tratar de imponer una interpretación simple de paquete de ondas en un fotón.

Ed999 · Answer 8

En una caja de volumen definido, por lo tanto finito, una onda infinitamente larga es por definición imposible. Postular una onda infinitamente larga también negaría la realidad física del fotón que tiene una longitud de onda, ya que la longitud de onda nunca es infinita; las longitudes de onda medidas, de la luz visible, por ejemplo, son extremadamente cortas, no infinitas.

Al definir el volumen de la caja, es decir, al establecer un volumen arbitrariamente, se establece en efecto un límite superior arbitrario en la longitud de onda. Pero un solo fotón no puede dar un valor para la longitud de onda, ya que no hay posibilidad de medir una distancia de pico a pico entre picos adyacentes en la forma de onda, cuando no hay un segundo pico para medir.

La energía es un derivado de la amplitud, pero solo en un sentido estadístico, como un promedio de muchos fotones por segundo, ya que el principio de incertidumbre hace que la medición de un solo fotón sea problemática. Sus valores de campo eléctrico y magnético son solo un promedio estadístico; los fotones individuales pueden desviarse ampliamente de ese promedio. Las ecuaciones derivadas de estos promedios de grupo también son válidas solo para el grupo, no para fotones individuales.

Una onda infinitamente larga puede tener una longitud de onda perfectamente definida en la mecánica cuántica (y, de hecho, solo las ondas infinitamente largas tienen una longitud de onda bien definida, tanto clásica como mecánicamente cuántica).

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