Velocidad de una partícula en mecánica cuántica: velocidad de fase frente a velocidad de grupo

Al igual que la posición en sí, la velocidad en la mecánica cuántica no es solo un número; es un operador con diferentes probabilidades de diferentes resultados que pueden resultar de la medición de la velocidad.

El operador de velocidad en el modelo mecánico cuántico más simple es

$$v = p/m = -\frac{i\hbar}{m} \frac{\partial}{\partial x}$$ Puede transformar su función de onda de Fourier a la representación del momento y luego verá diferentes valores del momento y, por lo tanto, la velocidad, y las densidades de probabilidad de diferentes valores están dadas por $|\tilde \psi (p)|^2$.

Si consideras una onda plana simple,

$$\psi (x,t) = \exp( ipx/\hbar - iEt /\hbar )$$ entonces el operador $v$arriba tiene un estado propio en el vector de arriba y el valor propio es $p/m$. Por otro lado, la velocidad de fase está dada por $$v_p = \omega / k = \frac{E}{p} = \frac{pv}{2p} = \frac{v}2$$ por lo que la velocidad de la partícula es igual al doble de la velocidad de la fase, suponiendo que su energía (determinar el cambio de fase en el tiempo) solo está dada por la pieza no relativista, sin ninguna $mc^2$. También se puede calcular la velocidad de grupo de la onda. $$v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k } = \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{p}m = v$$ que es exactamente la velocidad de la partícula. La ventaja de esta relación es que se mantiene incluso en relatividad. Si $E=\sqrt{p^2+m^2}$, entonces la derivada de $E$con respecto a $p$es $1/2E\cdot 2p =p/E = v$que es exactamente la velocidad correcta, también. No es demasiado sorprendente porque si se localiza un paquete de ondas, la velocidad del grupo mide cómo se mueve el "centro de masa" de este paquete, pero la posición del paquete coincide con la posición de la partícula, por lo que las dos velocidades deben ser iguales.