¿Por qué un universo infinito, plano y que no se expande lleno de una distribución de materia uniforme no es una solución a la ecuación de Einstein?

Esta es una pregunta bastante sutil, que confundió incluso a Newton . Es muy tentador pensar que un universo newtoniano inicialmente estático con una densidad de masa perfectamente uniforme no colapsará, porque la fuerza gravitacional se cancela en todas partes por simetría. Esto está mal.

Aquí hay una pregunta análoga: supongamos una función$f$obedece

$$f''(x) = 1$$ y queremos resolver para$f(x)$. Dado que cada punto de la línea real es igual a cualquier otro punto, podríamos pensar que por simetría, $$f(x) = \text{constant}.$$ Pero esto es completamente erróneo, porque la segunda derivada de una constante es cero. Y retrocediendo, toda la pregunta no tiene ningún sentido, porque no hay suficiente información. Para resolver una ecuación diferencial general, necesita condiciones de contorno.

Una posible condición de contorno es que la solución parezca aproximadamente incluso en el infinito. Eso es suficiente para especificar la solución en todas partes, como

$$f(x) = \frac{x^2}{2} + \text{constant}.$$ Pero ahora la simetría traslacional se ha roto: ya no todos los puntos son equivalentes, porque tenemos un mínimo en$x = 0$. Esto es inevitable. No puede resolver la ecuación diferencial sin condiciones de contorno, y cualquier elección de condiciones de contorno rompe la simetría .

De manera similar en el universo infinito de Newton tenemos

$$\nabla^2 \phi = \rho$$ dónde$\rho$es la densidad de masa constante y$\phi$es el potencial gravitatorio, correspondiente a$f$en el ejemplo anterior. Al igual que en ese ejemplo, "obviamente" tenemos por simetría $$\phi(x) = \text{constant}$$ lo que indica que la fuerza se desvanece por todas partes. Pero esto está mal. Sin condiciones de contorno, la evolución posterior no está definida; es como pedir para resolver$x$dado solo eso$x$incluso. Con cualquier conjunto de condiciones de contorno, tendrá un punto hacia el cual todo colapsa. Entonces, la respuesta a su pregunta es que tanto el universo newtoniano como el relativista comienzan a colapsar de inmediato; el argumento de la simetría no funciona en ninguno de los dos, por lo que no hay nada extraño que explicar.

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La razón por la que este punto no se menciona en la mayoría de los cursos es que a menudo asumimos que el potencial gravitatorio llega a cero en el infinito (en la gravedad newtoniana) o que la métrica es asintóticamente plana (en relatividad). Pero esta condición de contorno no funciona cuando la distribución de masas también se extiende hasta el infinito, lo que conduce al escollo aquí. El mismo punto puede dar lugar a sorpresas en la electrostática .

Razonamos anteriormente en términos de potenciales. Una forma ligeramente diferente, pero físicamente equivalente, de llegar a la misma conclusión es usar campos directamente, integrando el campo gravitatorio debido a cada masa. En este caso, el problema es que el campo en cualquier punto no está bien definido porque las integrales no convergen. La única forma de asegurar la convergencia es introducir un "regulador", que haga que las masas distantes contribuyan menos por decreto. Pero cualquier regulador de este tipo, al reemplazar efectivamente la distribución infinita por una distribución finita, introduce un centro hacia el cual todo colapsa; al igual que las condiciones de contorno, cualquier regulador rompe la simetría. Entonces, nuevamente, el colapso comienza de inmediato.

Al final, tanto el universo newtoniano como el relativista comienzan a colapsar de inmediato y, en ambos casos, esto se puede evitar agregando una constante cosmológica. En el caso newtoniano, esta es simplemente la afirmación trivial de que$\nabla^2 \phi = \rho - \Lambda$tiene soluciones constantes para$\phi$cuándo$\rho = \Lambda$. Sin embargo, en ambos casos la solución es inestable: el colapso comenzará con la introducción de cualquier perturbación.

La ecuación que gobierna la curvatura del espacio-tiempo en la relatividad general es

$$R_{\mu\nu} - \frac12Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$ O, en realidad, es$16$ecuaciones en uno:$\mu$y$\nu$ambos pueden tomar valores de$0$a$3$, que representa los cuatro componentes de cualquier sistema de coordenadas dado, y para cada una de estas opciones se obtiene una nueva ecuación (con la pequeña salvedad de que es simétrica en$\mu$y$\nu$, así que realmente, es sólo$10$ecuaciones distintas).

los simbolos$R_{\mu\nu}$,$R$,$g_{\mu\nu}$y$T_{\mu\nu}$son los llamados tensores , que por ahora puedes considerar como funciones de valor real en el espacio-tiempo. (Los valores reales que obtenga dependerán de su elección de sistema de coordenadas, pero si fija un sistema de coordenadas para la región que le interesa, se convertirán en solo funciones.$R$es una sola función mientras que las tres restantes, de nuevo, son colecciones de$16$funciones: una para cada$\mu, \nu$par.)

El lado izquierdo representa la curvatura del espacio-tiempo. En el espacio-tiempo plano tenemos$R_{\mu\nu} = 0$para cualquier$\mu, \nu$, y también obtenemos$R = 0$, por lo que el lado izquierdo será$0$.

El lado derecho es una gran constante multiplicada por$T_{\mu\nu}$, que representa la energía en cada punto del espacio. En un sistema de coordenadas "sensible" (donde el$0$-componente representa el tiempo, y las tres coordenadas restantes representan el espacio),$T_{00}$representará la densidad de energía (incluida la densidad de masa; los otros componentes de$T_{\mu\nu}$representar cosas como presión y densidad de momento). Si hay una masa uniforme distinta de cero en todas partes, entonces$T_{00}$será distinto de cero. Eso significa que$R_{00} -\frac12Rg_{00}$también será distinto de cero, lo que significa que tampoco tenemos un espacio-tiempo plano como$R_{00}$o$R$debe ser distinto de cero.

Para recuperar el espacio-tiempo plano en este caso, y permitir que ambos$R_{\mu\nu}$y$R$para ser cero, es necesario agregar un tercer término al lado izquierdo: la constante cosmológica$\Lambda$, dándonos

$$R_{\mu\nu} - \frac12Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$

¡Buena pregunta!

Aquí hay una posible declaración de la lógica en el caso newtoniano. (1) En la mecánica newtoniana, asumimos que existen marcos de referencia inerciales (esta es una forma moderna y popular de reafirmar la primera ley de Newton), asumimos que tales marcos son globales, y asumimos que siempre podemos encontrar dicho marco observando un partícula de ensayo sobre la que no actúa ninguna fuerza. (2) En la cosmología homogénea newtoniana, podríamos suponer que la fuerza sobre una partícula de prueba P elegida se puede encontrar mediante algún proceso de limitación y que el resultado es único. (Esto es básicamente una suposición falsa, pero no creo que termine siendo el problema aquí). (3) Dado que el resultado es único, debe ser cero por simetría. (4) Por las suposiciones 1 y 2, P define un marco inercial, y por la suposición 1, ese marco puede extenderse para cubrir todo el universo.

En relatividad general, la suposición 1 falla. Las partículas de prueba P y Q pueden ser inerciales (es decir, ninguna fuerza no gravitatoria actúa sobre ellas), pero puede ser falso que no estén aceleradas entre sí. Por ejemplo, podemos hacer una cosmología FRW en la que, en algún momento inicial,$\dot{a}=0$, pero luego tendrá$\ddot{a}\ne0$(para satisfacer las ecuaciones de campo de Einstein para un polvo uniforme). (En esta situación, las ecuaciones de campo de Einstein se pueden reducir a las ecuaciones de Friedmann, una de las cuales es$\ddot{a}/a=-(4\pi/3)\rho$.)

Esto muestra que el argumento newtoniano (o al menos una versión del mismo) falla. No prueba que no haya otro argumento de plausibilidad semi-newtoniano que explique por qué colapsa un universo inicialmente estático. Sin embargo, no estoy seguro de qué criterios podríamos acordar en cuanto a lo que constituye un argumento de plausibilidad semi-newtoniano aceptable. Algunas personas han desarrollado extensamente estas descripciones semi-newtonianas de la cosmología, pero a mí me parece que carecen de fundamentos lógicos que permitan distinguir un argumento correcto de uno incorrecto.

Su pregunta es bastante profunda y las otras respuestas llegan al corazón de "lo que realmente está pasando", pero quería dar un paso atrás y aclarar algo simple que no creo que nadie más haya señalado explícitamente todavía:

En la gravedad newtoniana, un volumen infinito lleno de una distribución uniforme de masa estaría en perfecto equilibrio. En cada punto, las fuerzas gravitatorias aportadas por las masas en una dirección serían exactamente contrarrestadas por las de la dirección opuesta.

Como han señalado otras personas, esto es incorrecto, por razones conceptuales bastante sutiles que involucran la naturaleza del límite del espacio infinito. Pero hay una manera extremadamente simple de ver matemáticamente por qué una densidad de masa uniforme$\rho$no puede producir un campo gravitatorio idénticamente cero${\bf g} \equiv {\bf 0}$: La ley de Gauss para la gravedad dice que${\bf \nabla} \cdot {\bf g} = -4\pi G \rho$, o equivalente$\iint_{\partial V} {\bf g} \cdot d{\bf A} = -4 \pi G\, M_\text{enclosed}$. esta muy claro que${\bf g} \equiv {\bf 0},\ \rho =$(constante distinta de cero) no satisface estas ecuaciones.

En términos cualitativos, me parece que las tensiones gravitatorias que las masas impondrían sobre el espacio-tiempo deberían cancelarse todas, y del mismo modo, que el espacio-tiempo plano resultante no debería tener ningún efecto sobre el movimiento de las masas.

Creo que aquí hay un sutil malentendido.

En la relatividad general, un universo uniformemente lleno de masa (o realmente de energía) verá canceladas todas las fuerzas que actúan sobre un objeto masivo, como en el caso newtoniano. Esto se debe a las simetrías de un universo uniforme.

Sin embargo, esto no significa que el universo sea plano.

En la mecánica newtoniana, las fuerzas que se anulan entre sí implican un movimiento que sigue una línea recta. Entonces, intuitivamente, parece que un objeto definitivamente no podría seguir una línea recta en un espacio-tiempo curvo. Pero aquí está el truco: en el contexto de la relatividad general, el concepto de línea recta no tiene mucho sentido.

Para entender por qué, debemos preguntarnos qué es una línea recta. En mecánica newtoniana es fácil: es el camino seguido por un objeto inercial, es decir, un objeto sobre el cual podemos definir un marco de referencia tal que este objeto en este marco parece estar estático y no afectado por fuerzas.

El principio de equivalencia de la relatividad general, sin embargo, nos dice que tal marco de hecho puede definirse para cualquier objeto en caída libre (objeto afectado solo por fuerzas gravitatorias). Las trayectorias de tales objetos se llaman geodésicas y eso es lo mejor que podemos hacer para extender el concepto newtoniano de línea recta. En otras palabras, en la relatividad general, la "rectitud" es un efecto del marco de referencia.

Entonces, como era de esperar, en un universo donde solo consideramos la gravitación, todos los objetos siguen geodésicas y, por lo tanto, se mueven siguiendo "líneas rectas generalizadas".

Lo que todo eso indica es que las consideraciones sobre el movimiento de los objetos no nos dan (que yo sepa) ninguna información sobre la estructura del espacio y el tiempo. Desafortunadamente, esta respuesta no explica la necesidad de un universo en expansión, solo señala que el argumento newtoniano es limitado. La razón es que, hasta donde yo sé, no existe una explicación intuitiva simple de la razón detrás de la expansión del universo.

En Principia , Newton introduce el teorema de la esfera de hierro , que dice que se pueden ignorar los efectos gravitatorios de una distribución de materia esféricamente simétrica fuera de una esfera dada. Esto implica que una distribución uniforme de materia debería colapsar hasta un punto. Pero aquí hay un problema: Newton pensó en términos de espacio absoluto, por lo que no hay razón para que se derrumbe en un punto en lugar de otro.

La idea de la "cancelación" de la gravedad en una distribución uniforme se discutió en correspondencia con Richard Bentley, quien era una parte muy importante del establecimiento religioso. Mi impresión es que Newton estaba feliz de parecer agradable aquí. Principia estaba bien, pero no quería que la Iglesia investigara sus otros trabajos demasiado de cerca. El argumento de 'cancelación' lleva el problema al infinito (por lo que le da a Dios algo que hacer)

Sin embargo, no fue particularmente satisfactorio, y en 1759 Roger Boscovich propuso una fuerza repulsiva para mantener el equilibrio de la materia, esencialmente una versión temprana de la constante cosmológica (esto fue desarrollado más tarde por William Herschel)

Para Einstein, aunque no era posible llevar el problema al infinito, ya que la relatividad tiene que ser local . De ahí la constante cosmológica. (Pero EA Milne usó una versión del argumento de 'cancelación' para su universo que se estaba expandiendo pero ignoraba la gravedad a gran escala)

Una perspectiva más: la pregunta es esencialmente por qué la solución a la ecuación de movimiento relevante no tiene la misma simetría que la EOM. ¡Esta no es una característica única de la gravedad!

Las simetrías EOM son reglas de cierre para el conjunto de soluciones, no propiedades de soluciones individuales; por ejemplo, la invariancia traslacional de$f^{\prime\prime}=c$significa que si$f(x)$es una solución también lo es$f(x-a)$, eso no$f(x)\equiv f(x-a)$. Una vez que las condiciones de contorno especifican una solución, ni las condiciones ni la solución mantienen la simetría EOM; la primera explica la segunda.

Esto se llama ruptura de simetría espontánea. Claro, ese término generalmente surge cuando el lagrangiano de un escalar complejo es invariable bajo cambios de fase, pero eso es un accidente histórico de cuando estábamos pensando en el campo de Higgs. El principio es general. Aquí hay una aplicación mucho más simple a la gravedad que en el OP: si sostiene un bolígrafo con la punta de un dedo, mientras un extremo se equilibra sobre una mesa, cuando lo suelta, cae en una dirección específica. La simetría se ha roto.