Cuadrícula infinita de planetas con gravedad newtoniana

Para decir que una configuración está en un estado de equilibrio, necesitas decir que la fuerza neta que actúa sobre cada planeta es cero. Sin embargo, para definir la fuerza neta (si eres matemático), debes elegir y justificar una regla para regularizar una suma que no sea absolutamente convergente. La regla que parece haber elegido tiene un límite sobre bolas concéntricas centradas en el planeta en cuestión. Este método da una respuesta conveniente de fuerza neta cero.

Podría preguntarse por qué esto es preferible a algún otro método de regularización. Por ejemplo, si elige un límite sobre elipsoides cada vez más grandes de igual excentricidad, para los cuales un foco es el planeta en cuestión y el otro foco se aleja en una cierta dirección en el plano, obtendrá una fuerza de atracción en esa dirección. . Este es un método de suma válido, en el sentido de que las contribuciones de todos los planetas finalmente se consideran al calcular la fuerza neta en un planeta.

Una ventaja de la regularización esférica sobre el método elipsoidal es que es invariante bajo movimientos rígidos y, de hecho, cualquier método de regularización que sea invariante bajo reflexiones o rotaciones le dará una respuesta de cero. Esto hace que el equilibrio sea una respuesta estéticamente natural, pero eso no significa necesariamente que dé la respuesta correcta. En particular, creo que la configuración está lo suficientemente separada de situaciones físicas realistas como para que una preferencia por la simetría no justifique una regularización, por lo que diría que esta pregunta no tiene una respuesta bien definida (pero los físicos podrían no estar de acuerdo).

Este es un límite muy sutil de la relatividad general en el que la evaluación de formas indefinidas cobra importancia.

Primero, tenga en cuenta que debido a la densidad uniforme de la materia, el potencial gravitacional no se comportará bien. Tendría que satisfacer

$$\Delta \Phi \sim \rho_{\rm planets}$$ pero debido a que el lado derecho es uniforme (a distancias más largas que el espaciado de la cuadrícula), necesitaría algo como $$\Delta = C\vec x\cdot \vec x$$ Eso es malo porque el potencial gravitacional claramente va al infinito en el infinito y solo hay un lugar en el que el potencial gravitatorio está estacionario. Todos los demás planetas sentirían fuerza. Sin embargo, también puede ignorar el potencial gravitacional y considerar solo su gradiente. De manera equivalente, puede agregar un "término de constante cosmológica" newtoniano por $$\Delta \Phi \sim \rho_{\rm planets} -\rho_0$$ Aquí, el término constante cosmológica $\rho_0$puede optarse por cancelar el valor medio de $\rho_{\rm planets}$. Esta adición adicional de $\rho_0$no afectaría las aceleraciones y fuerzas porque es completamente uniforme.

Entonces, si insiste en las fórmulas estándar para el potencial gravitacional y prohíbe cualquier tipo de constante cosmológica, esta configuración no puede estar en equilibrio. Sin embargo, si permite que se agregue una energía de vacío constante y reste la densidad promedio proveniente de la red planetaria, puede obtener un estado estacionario similar a una versión no relativista del Universo estático de Einstein que Einstein quería creer en la relatividad general. (que se demostró que era erróneo cuando el Hubble observó la expansión del Universo).

Al igual que el universo estático de Einstein, esta configuración uniforme de la materia es inestable. Una pequeña desviación comenzará a destruir la rejilla y hará que los planetas se agrupen, convirtiendo una parte de su energía potencial en energía cinética y movimiento caótico.

Por cierto, si no quisieras usar el potencial gravitacional en absoluto, podrías simplemente calcular las aceleraciones. Su razonamiento, que termina con una respuesta de "equilibrio", se basa en la simetría. La aceleración de los otros planetas es proporcional a la integral.

$$\int \frac{\vec r}{r^3} r^2 dr$$ escrito en coordenadas esféricas. Por simetría, se podría argumentar que desaparece ya que el integrando es una función impar. Sin embargo, eso solo es cierto en torno a un origen que debe elegirse de manera diferente para cada planeta-sonda. Si cambia el centro de las coordenadas esféricas, inevitablemente obtendrá un resultado diferente. Este problema es matemáticamente isomorfo a las "anomalías" que surgen de las divergencias lineales en la teoría cuántica de campos. En cierto sentido, la teoría está mal definida con su rejilla planetaria.

Bueno, Lubos Motl y Scott Carnahan ya respondieron la pregunta principal sobre una cuadrícula 2D en un espacio-tiempo de 3+1 dimensiones con la conclusión principal de que tanto la suma potencial como la suma de fuerzas no son absolutamente convergentes y, por lo tanto, no matemáticamente . bien planteado

Con respecto a la pregunta adicional sobre una cuadrícula de dimensión$d$, claramente una cuadrícula 3D solo empeoraría las cosas, lo que nos deja con una cuadrícula 1D, digamos, una sola fila de planetas a lo largo del$x$-eje en posición$x\in a\mathbb{Z}$, dónde$a$es el tamaño de la cuadrícula. La suma potencial correspondiente es logarítmicamente divergente, pero la suma de fuerzas es en realidad absolutamente convergente, por lo que aquí el cálculo tiene un sentido riguroso. Si llamamos al vector unitario en el$x$-dirección para$\hat{x}$, entonces la fuerza gravitatoria sobre el planeta$P$a$\vec{r}=\vec{0}$es

$$\vec{F}~=~\frac{Gm^2}{a^2}\hat{x}\sum_{n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}}\frac{n}{|n|^3}~=~\vec{0},$$

que es cero por$n\leftrightarrow -n$simetría, como se esperaba.