¿Cuál es la relación exacta entre la edad del universo y la constante cosmológica?

La fórmula exacta para el tiempo transcurrido desde el Big Bang es la integral

$$t=\int_0^a \frac{{\rm d}a'}{a' \ H(a')}$$

dónde$H(a)$se compone de la densidad de radiación$\Omega_R$, la densidad de la materia (oscura+regular)$\Omega_M$, la curvatura$\Omega_K$y la densidad de energía oscura$\Omega_{\Lambda}$:

$$H(a)=H_0 \ \sqrt{\Omega_R/a^4+\Omega_M/a^3+\Omega_K/a^2+\Omega_{\Lambda}}$$

Si estás buscando la edad del universo actual, establece$a=1$, si desea saber qué edad tenía el universo cuando el factor de escala era la mitad del actual$a=1/2$y si está buscando la edad del universo cuando el factor de escala será el doble del actual, establezca$a=2$.

Esas son las ecuaciones de Friedmann que también se utilizan en el modelo ΛCDM. Con$H_0=67150 \ {\rm m/Mpc/sec}$,$\Omega_R=10^{-4}$(incluidos los neutrinos, la radiación sola sería 5e-5),$\Omega_M=0.315$,$\Omega_K=0$,$\Omega_{\Lambda}=1-\Omega_R-\Omega_M-\Omega_K$esto da

$$t=13.841 \ {\rm Gyr}$$

Cuando$t=f/H_0$la función$f$se convierte

$$f=\int_0^a \frac{{\rm d}a'}{\sqrt{\Omega_R/a'^2+\Omega_M/a'+\Omega_K+\Omega_{\Lambda} \ a'^2}}$$

Dado que no hay una solución cerrada para esta integral, excepto cuando establece$\Omega_M+\Omega_{\Lambda}=1$y todos los demás$\Omega$a$0$que reduce la ecuación para$a$a

$$a=\sqrt[3]{\left(\sqrt{\frac{\Omega_M}{\Omega_{\Lambda} }} \sinh \left(\frac{t \left(3 H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda} }\right)}{2} \right)\right)^2}$$

y por lo tanto$t$a

$$t=\frac{2 \sinh ^{-1}\left(\sqrt{\frac{a^3 \Omega_{\Lambda} }{\Omega_M}}\right)}{3 H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda} }}$$

debe usar la integración numérica en lugar de la simbólica al resolver la solución exacta que contiene todos los$\Omega$s.

Con$a=1/(z+1)$(depende del corrimiento al rojo en lugar del factor de escala) las ecuaciones se mencionan aquí: ned.ipac.caltech.edu/level5/Hogg/Hogg10.html y aquí: lcm.yukterez.net

Sí, es verdad, puedes escribir la ecuación para la edad del universo de esa manera. . Pero no es una ecuación muy utilizada porque el término f no es tan simple.

La razón por la que puedes escribirlo de esa manera es que tanto 1/$\sqrt(\Lambda)$y 1/$H_0$tienen las dimensiones del tiempo, sobre$10^{18}$segundos

Puede obtener el número de la constante de Hubble actual y obtener su valor numérico de f, pero no está claro en absoluto que ayude mucho a pensar las cosas. f de hecho depende de la constante cosmológica también.

La mejor ecuación para obtener la edad del universo es

$t_0$= F/$H_0$

Donde el denominador es la constante de Hubble actual. F (diferente de su f) es .956, según el modelo de concordancia actual de parámetros cosmológicos. Sin embargo, F también es una ecuación no tan simple. Pero al menos cerca de 1. La inversa de la constante de Hubble es de unos 14,4 Gy, y la edad del universo de unos 13,8 Gy.

Consulte el artículo de wiki en https://en.m.wikipedia.org/wiki/Age_of_the_universe

Vea las ecuaciones y los valores de los parámetros cosmológicos en https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lambda-CDM_model , donde usan números para la colaboración de Planck (más reciente). También tiene la ecuación para el parámetro de Hubble.