¿Por qué podemos omitir la mitad de la solución general?

Question

¿Por qué podemos omitir la mitad de la solución general?

Bob Dylan

En estas notas en pdf , dice al pie de la primera página y al principio de la segunda:

[...] cuya solución es:
$Ψ (θ) = C_{1} {mi}^{i ω θ} + C_{2} {mi}^{- i ω θ}$ $\Psi(\theta) = c_1 e^{i\omega\theta} + c_2 e^{-i\omega\theta}$ Como estamos interesados en la solución real, solo es suficiente dejar: $Ψ (θ) = C_{1} {mi}^{i ω θ} .$ $\Psi(\theta) = c_1 e^{i\omega\theta}.$

No entiendo por qué podemos tirar el $c_2 e^{-i\omega\theta}$ . ¿Qué tiene que ver la segunda solución fundamental con que estemos interesados únicamente en la solución real? ¿Y qué quiere decir esta persona con "interesado solo en la solución real"? Después de todo $c_1 e^{i\omega\theta}$ no es necesariamente real.

DanielSank

Leí el pdf y esa es la horrible "pedagogía" estándar que plaga gran parte de nuestro campo (y otros). Luché con este tipo de cosas también, Bob Dylan. Mi consejo para usted es que ignore la forma en que pdf resuelve el problema. Mantenga ambos términos y resuelva el problema usted mismo, buscando puntos de verificación en el pdf si es posible. Lamento que la gente produzca explicaciones tan horribles.

nikos m.

un poco más abajo en la segunda página, el pdf dice que toma el "conjugado" de

Ψ

$\Psi$ , interesante desde

Ψ

$\Psi$ en la parte superior de la segunda página se toma como real . Bueno, el punto es que los coeficientes

c_{1}

$c_1$ ,

c_{2}

$c_2$ son en general complejos. Tenga en cuenta que (en QM) la función de onda

Ψ

$\Psi$ es necesariamente complejo (no puede ser real ya que haría que la ecuación de Schroediger fuera inconsistente). Tal vez el autor quiere decir algo más.

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¿Por qué podemos omitir la mitad de la solución general?

Leí el pdf y esa es la horrible "pedagogía" estándar que plaga gran parte de nuestro campo (y otros). Luché con este tipo de cosas también, Bob Dylan. Mi consejo para usted es que ignore la forma en que pdf resuelve el problema. Mantenga ambos términos y resuelva el problema usted mismo, buscando puntos de verificación en el pdf si es posible. Lamento que la gente produzca explicaciones tan horribles.
un poco más abajo en la segunda página, el pdf dice que toma el "conjugado" de $\Psi$ , interesante desde $\Psi$ en la parte superior de la segunda página se toma como real . Bueno, el punto es que los coeficientes $c_1$ , $c_2$ son en general complejos. Tenga en cuenta que (en QM) la función de onda $\Psi$ es necesariamente complejo (no puede ser real ya que haría que la ecuación de Schroediger fuera inconsistente). Tal vez el autor quiere decir algo más.

david z · Answer 1

Buena pregunta. Tienes razón, realmente no puedes descartar una de las soluciones. El autor de este PDF está utilizando un atajo mal explicado, que dice así: si expande la solución compleja completa, obtiene

\begin{aligned} Ψ (θ) & = C_{1} {mi}^{i ω t} + C_{2} {mi}^{- i ω t} \\ = (a_{1} + b_{1} i) (porque ω t + i pecado ω t) + (a_{2} + b_{2} i) (porque ω t - i pecado ω t) \\ = (a_{1} + a_{2}) porque ω t + (b_{2} - b_{1}) pecado ω t + i [(a_{1} - a_{2}) pecado ω t + (b_{1} + b_{2}) porque ω t] \end{aligned}

$\begin{align} \Psi(\theta) &= c_1 e^{i\omega t} + c_2 e^{-i\omega t} \\ &= (a_1 + b_1 i)(\cos\omega t + i\sin\omega t) + (a_2 + b_2 i)(\cos\omega t - i\sin\omega t) \\ &= (a_1 + a_2)\cos\omega t + (b_2 - b_1)\sin\omega t + i[(a_1 - a_2)\sin\omega t + (b_1 + b_2)\cos\omega t] \end{align}$

Si sabes, por razones que no entraré aquí, que solo tienes que considerar la solución real, puedes asumir "sin pérdida de generalidad" (como dicen) que la parte imaginaria es cero:

\begin{aligned} a_{1} & = a_{2} & b_{1} & = - b_{2} \end{aligned}

$\begin{align}a_1 &= a_2 & b_1 &= -b_2\end{align}$

Eso te permite eliminar la mitad de los coeficientes; en otras palabras, dos de $a_1,a_2,b_1,b_2$ no son independientes, sino que están relacionados con los dos restantes.

Ahora puede combinar las dos ecuaciones anteriores para obtener

Ψ (θ) = 2 a_{1} porque ω t - 2 b_{1} pecado ω t

$\Psi(\theta) = 2a_1\cos\omega t - 2b_1\sin\omega t$

Observe que la solución ahora tiene solo dos coeficientes reales, $a_1$ y $b_1$ , o de manera equivalente, un coeficiente complejo, $c_1$ . el problema es que $c_1$ no se usa realmente como un número complejo; más bien, se separa y sus componentes se usan por separado, por lo que no creo que la forma en que se explica en el PDF sea muy útil.

¿Por qué podemos omitir la mitad de la solución general?

Bob Dylan

DanielSank

nikos m.

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david z

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