¿Por qué podemos decir que dtobs=(1+z)dtdtobs=(1+z)dtdt_{obs}=(1+z)dt?

Question

¿Por qué podemos decir que dtobs=(1+z)dtdtobs=(1+z)dtdt_{obs}=(1+z)dt?

Jorge Casajus

Estoy estudiando cómo cambia la luminosidad de una fuente distante vista desde un observador que se encuentra lejos debido a los efectos de la expansión del universo. Ahora, aparentemente, si una fuente puntual emite luz con luminosidad $L$ , con unidades de energía en el tiempo, entonces un observador lejos de él recibirá $L_{obs} \propto \frac{1}{(1+z)^2}$ , con $z$ siendo el parámetro de corrimiento al rojo.

Esto sucede así ya que la energía del fotón emitido se desplaza hacia el rojo por un factor $(1+z)$ debido a la expansión del universo Y porque $dt_{obs}=(1+z)dt$ , por lo que la velocidad a la que llegan los fotones también disminuye y así tenemos que $L_{obs} \propto \frac{1}{(1+z)^2}$ relación. Sin embargo, no puedo encontrar ninguna explicación intuitiva de por qué $dt_{obs}=(1+z)dt$ se mantiene, ya que, hasta donde yo sé, como estamos trabajando en la métrica de Friedmann-Robertson-Walker, es la parte espacial del espacio (perdonen la repetición) la que se está expandiendo.

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¿Por qué podemos decir que dtobs=(1+z)dtdtobs=(1+z)dtdt_{obs}=(1+z)dt?

2PiOmega · Answer 1

De manera intuitiva, la luminosidad es básicamente fotones. Imagine una fuente (como una estrella) que emite fotones isotrópicamente con una Luminosidad L. En el espacio plano (Minkovsky) sin expansión, el flujo observado es

F = \frac{L}{4 π d^{2}}

$F = \frac{L}{4\pi d^2}$ porque los fotones se emiten esféricamente y la superficie de una esfera es

S = 4 π r^{2}

$S=4\pi r^2$ .

Pero ya sabes que nuestro Universo se está expandiendo, la métrica del Universo viene dada por:

d s^{2} = d t^{2} - a^{2} (t) {d r^{2} + d θ^{2} + {pecado}^{2} (θ) d ϕ^{2}}

$ds^2 = dt^2 - a^2(t) \left\{ dr^2 + d\theta^2+\sin^2(\theta)d\phi^2\right\}$ Recuerda que para los fotones

d s^{2} = 0

$ds^2=0$ Imagine que se emite un fotón a

t_{0}

$t_0$ el momento en que un observador lo obtiene es

t_{r}

$t_r$ y tenemos:

C \int_{t_{0}}^{t_{r}} \frac{d t}{a (t)} = - \int_{r}^{0} d r

$c\int_{t_0}^{t_r} \frac{dt}{a(t)} = -\int_{r}^{0}dr$ donde aparece el signo menos porque el fotón se envía al observador. Se emite un segundo fotón después de un tiempo

δ t_{o}

$\delta t_o$ y recibir con un retraso de tiempo

δ t_{r}

$\delta t_r$ :

C \int_{t_{0} + d t_{0}}^{t_{r} + d t_{r}} \frac{d t}{a (t)} = - \int_{r}^{0} d r = C \int_{t_{0}}^{t_{r}} \frac{d t}{a (t)} \int_{t_{0} + d t_{0}}^{t_{r} + d t_{r}} \frac{d t}{a (t)} - \int_{t_{0}}^{t_{r}} \frac{d t}{a (t)} = 0

$c\int_{t_0+\delta t_0}^{t_r+\delta t_r} \frac{dt}{a(t)} = -\int_{r}^{0}dr=c\int_{t_0}^{t_r} \frac{dt}{a(t)}\\ \int_{t_0+\delta t_0}^{t_r+\delta t_r} \frac{dt}{a(t)} -\int_{t_0}^{t_r} \frac{dt}{a(t)} =0$ Podemos descomponer:

\int_{t_{0} + d t_{0}}^{t_{r} + d t_{r}} \frac{d t}{a (t)} = \int_{t_{0} + d t_{0}}^{t_{r}} \frac{d t}{a (t)} + \int_{t_{r}}^{t_{r} + d t_{r}} \frac{d t}{a (t)}

$\int_{t_0+\delta t_0}^{t_r+\delta t_r} \frac{dt}{a(t)} = \int_{t_0+\delta t_0}^{t_r} \frac{dt}{a(t)} +\int_{t_r}^{t_r+\delta t_r} \frac{dt}{a(t)}$ y comenta que:

\int_{t_{0} + d t_{0}}^{t_{r}} \frac{d t}{a (t)} - \int_{t_{0}}^{t_{r}} \frac{d t}{a (t)} = \int_{t_{0} + d t_{0}}^{t_{0}} \frac{d t}{a (t)} = \frac{- d t_{0}}{a (t_{0})}

$\int_{t_0+\delta t_0}^{t_r} \frac{dt}{a(t)} - \int_{t_0}^{t_r} \frac{dt}{a(t)} = \int_{t_0+\delta t_0}^{t_0} \frac{dt}{a(t)}= \frac{-\delta t_0}{a(t_0)}$

Tenemos:

\int_{t_{r}}^{t_{r} + d t_{r}} \frac{d t}{a (t)} = \frac{d t_{r}}{a (t_{r})}

$\int_{t_r}^{t_r+\delta t_r} \frac{dt}{a(t)} = \frac{\delta t_r}{a(t_r)}$

Si juntamos todas las cosas obtenemos que:

d t_{r} = \frac{a (t_{r})}{a (t_{0})} d t_{0} = (1 + z) d t_{0}

$\delta t_r = \frac{a(t_r)}{a(t_0)}\delta t_0 = (1+z)\delta t_0$

De hecho, la expansión del Universo afecta el tiempo, creo que el hecho de que el factor de expansión en la métrica FLRW no se anteponga al tiempo es simplemente convencional porque en la Relatividad General las coordenadas son arbitrarias y en cosmología a veces usamos el tiempo conforme que es $d\eta = dt/a$ y permite reescribir la métrica FLRW como:

d s^{2} = a^{2} {d η^{2} - (d r^{2} + d θ^{2} + {pecado}^{2} (θ) d ϕ^{2})}

$ds^2 = a^2\left\{d\eta^2 - \left( dr^2 + d\theta^2+\sin^2(\theta)d\phi^2\right)\right\}$

¡Espero que te ayude y no me equivoque en mi explicación!

¿Por qué podemos decir que dtobs=(1+z)dtdtobs=(1+z)dtdt_{obs}=(1+z)dt?

Jorge Casajus

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2PiOmega

Jorge Casajus

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