¿Por qué no se puede usar el análisis de malla para circuitos no planos?

La respuesta peatonal básica es así:

1. Todo lo que tiene para analizar una red de componentes simples es KCL y KVL. Si escribe todas las ecuaciones KCL y KVL, usted (o una computadora) puede resolver el circuito. (Suponiendo que no haya condiciones imposibles, como una fuente de voltaje en un cortocircuito o una fuente de corriente en un circuito abierto).

2. Sin embargo, proceder de esa manera, sin otra ayuda, es tedioso y propenso a errores, ya que es extremadamente difícil realizar un seguimiento de todas las direcciones de corriente y voltaje .

3. Entonces, como conveniencia contable, el análisis de mallas introduce la noción de "bucles de corriente". Cada bucle de corriente no es un fenómeno distinto que pueda observarse individualmente. Son simplemente un "desglose contable" y se derivan directamente de KCL. Pero su gran beneficio es que establecen una convención rigurosa para dar cuenta de la dirección en cada punto de la red. Nota: no la dirección real de corriente o voltaje, sino simplemente la dirección que se cuenta como la dirección "+". Si la dirección real resulta ser la contraria, considérela como negativa.

4. Pero este desglose contable de "malla"/"bucles de corriente" de KCL y KVL solo es válido si nuestro método de contabilidad totaliza correctamente la corriente en cada cable conectado a cada nodo, sin omitir una parte de esa corriente y sin contar dos veces. una parte de esa corriente. La forma habitual de lograr esto es centrarse solo en los bucles más internos . (Un lazo más interno es uno que no tiene ningún otro cableado o componente dibujado dentro). Por ejemplo, ¡no agregamos lazos adicionales para cada ruta cerrada posible a través de la red! Confiamos en "solo contar todas las corrientes de bucle más internas" como criterio para garantizar que solo estamos contando corrientes que se suman exactamente a lo que KCL espera.

5. Pero hay algunas redes en las que no podemos identificar de forma única los "bucles más internos". Estos son los llamados circuitos "no planos", que no se pueden dibujar en papel plano sin cruces. En esa topología, KCL y KVL aún funcionan, por supuesto. Pero para algunas partes de la red encontramos bucles candidatos que también tienen un extremo de una rama adicional que pasa por el interior de ese bucle. Ya sea que incluyamos o excluyamos ese bucle en un análisis de bucle, los totales no se sumarían correctamente a lo que requiere KCL. Por lo tanto, no podemos usar "contar todos los bucles más internos" como base para cumplir con KCL en todos los nodos. En consecuencia, la simplificación contable de las corrientes de bucle (más internas) no se puede utilizar con circuitos no planos.

Mi antigua copia de Uni de Network Analysis (Van Valkenburg) continúa durante uno o tres capítulos construyendo el trasfondo matemático (topológico), tocando la solución de Euler del problema del puente de Konigsberg en 1735 y Kirchhoff en 1947 y Listing.

Lo que ellos llaman el método del "panel de ventana" permite identificar las mallas esenciales mediante bucles de inspección sin bucles internos, y las ramas esenciales son ramas que no se cruzan con otras ramas.

Si no es plano, no puede dibujarlo como tal , por lo que sugieren que debe emplear lo que ellos llaman el método de "conjunto de cuerdas y árboles" para analizar el circuito.

Probablemente podría obtener una prueba matemática rigurosa basada en la teoría de grafos, pero no de moi.

Creo que la razón está en términos de definiciones, para que el método pueda especificarse de tal manera que sea fácil de aplicar.

Si el circuito no es plano, entonces las ramas "3-D" no tienen mallas claramente definibles, ya que en 3-D no se puede hablar de "bucles que no tienen bucles internos". El bucle que contiene los componentes en las ramas 3D puede tener muchos caminos y no es unívoco como en los circuitos planos.

Tampoco es posible que cada componente tenga solo 2 o 1 mallas (puede tener más), y no es posible tener una convención fácil de seguir para la dirección de la corriente del bucle.

Creo que todas estas complicaciones hicieron que valiera la pena limitar el análisis de malla a 2-D y dejar el "análisis de bucle" con sus "corrientes de bucle" como un método más general. En ese método, define los bucles de una manera más general, siempre que cada componente esté contenido dentro de al menos un bucle. Lo mismo, solo que más difícil de seguir, pero igualmente válido.

Creo que Spehro da una respuesta completa que uno puede esperar sin una incursión en la homología de los complejos CW.

Solo quería agregar un ejemplo para que pueda ver cómo el planar se usa sutilmente en el análisis de malla. Toma una fuente de voltaje$V$y dos resistencias$R_1$y$R_2$conectados todos en paralelo pero no en el plano sino en tres espacios.

Notarás que ahora hay una simetría y, naturalmente, tienes tres bucles. Un bucle de corriente a través$R_1$y la fuente de voltaje$V$(llámalo$i_1$), un bucle a través$R_2$y la fuente de voltaje$V$(llámalo$i_2$), y una última entre las dos resistencias (llámese$i_3$).

Ahora hay seis formas de colocar este circuito en el plano (donde la fuente de voltaje está orientada positivamente). Un análisis de malla en cualquiera de estas incrustaciones utilizará dos de los tres bucles. Además, para cualquier elección de dos de los tres bucles, existe un diseño de circuito cuyo análisis de malla utilizará esos dos bucles.

Tenga en cuenta que no puede usar los tres bucles en un análisis de malla porque obtiene el conjunto de ecuaciones

que tiene muchas soluciones, pero no una única.

Con suerte, al menos ahora puedes creer que ser plano implica elegir qué bucles usar.