¿Por qué no se ha mostrado el monopolo magnético en el contexto del modelo estándar de la física de partículas?

El modelo estándar generalmente se formula como una teoría de calibre con un Lagrangiano que contiene los campos de calibre. Digamos, por simplicidad, que consideramos una teoría de norma abeliana, lo que significa que el grupo de norma es$U(1)$.

Entonces tienes un campo eléctrico y otro magnético, pero como sabes, estos se describen con el campo de fotones.$A_\mu$. En términos de los campos eléctrico y magnético,$A_\mu$corresponde a los potenciales. En particular, la parte espacial de$A_\mu$es el vector$\vec{A}$definido por$\vec{B} = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}$. Pero nótese que esta definición depende crucialmente del hecho de que$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$.

En presencia de monopolos magnéticos, esta relación se modifica para$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = \rho_m$dónde$\rho_m$es la densidad de cargas magnéticas, similar a la relación eléctrica$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \rho_e$. En este caso, ya no es cierto que exista una función$\vec{A}$tal que$\vec{B} = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}$. Por supuesto, si tiene monopolos magnéticos pero no monopolos eléctricos (es decir, partículas cargadas bajo el campo eléctrico), entonces la relación$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0$le permite introducir una función$\vec{A}_D$tal que$\vec{E} = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}_D$, y puede proceder como de costumbre con$\vec{E}$y$-\vec{B}$intercambiado

En resumen, no podemos tener una descripción lagrangiana con partículas cargadas tanto eléctrica como magnéticamente. Esto generalmente se formula diciendo que las partículas cargadas eléctricamente y los monopolos magnéticos son mutuamente no locales. Y esta es la razón principal por la que no agregamos simplemente monopolos al modelo estándar de Lagrangian.

Como nota final, debo dar una pista de cómo se incluiría un monopolo magnético en el formalismo. Básicamente, se reduciría a una condición de contorno no trivial para el campo de calibre. Más precisamente, si desea describir un monopolo magnético que se encuentra en el punto$x$, luego quita una pequeña esfera alrededor$x$del espacio-tiempo y prescribir condiciones de contorno apropiadas para el campo$A_\mu$sobre esta esfera. De esta manera, el monopolo no está realmente en el espacio-tiempo y desaparece la contradicción que describí anteriormente.

Ninguna partícula elemental (en el sentido de una partícula que es el cuanto de un campo cuántico elemental) puede llevar una "carga magnética". La presencia de un campo "magnéticamente cargado" bajo el$\mathrm{U}(1)$es simplemente incompatible con el$\mathrm{d}F = 0$identidad de Bianchi, que sería modificada para$\mathrm{d} F = j_m$para$j_m$la corriente magnética de 3. Esto significa que una teoría con campos elementales cargados magnéticamente no puede ser una simple$\mathrm{U}(1)$teoría del calibre. Discuto varias formas alternativas de incluir cargas magnéticas en un$\mathfrak{U}(1)\cong \mathbb{R}$teoría aquí con un poco más de detalle.

La inexistencia de monopolos en el Modelo Estándar no tiene nada que ver con anomalías o cancelación de anomalías. El teorema de no-go para los monopolos topológicos en la teoría estándar (Glashow-Weinberg-Salam) de la interacción electrodébil es que los monopolos 't Hooft-Polyakov de cuatro dimensiones de un grupo de calibre$G$dividido en un subgrupo$H$requerir no trivial$\pi_2(G/H)$del colector de vacío$G/H$. Si$G$es simple y doblemente conexo, es decir$\pi_1(G) = \pi_2(G) = 0$, entonces esto es lo mismo que requerir no trivial$\pi_1(H)$de la secuencia exacta larga de grupos de homotopía aplicada a la fibración$H \to G \to G/H$. Pero en la teoría GWS, el electromagnético$H = \mathrm{U}(1)$suele ser denso en el toro$\mathrm{U}(1)\times\mathrm{U}(1)\subset \mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$para valores genéricos (es decir, irracionales) del ángulo de Weinberg, cf. las respuestas de Qmechanic aquí y aquí , convirtiéndose efectivamente en un no compacto$\mathrm{U}(1)$- el mapa de incrustación no es continuo en el nivel de los grupos de Lie.

Tenga en cuenta que esto solo excluye los monopolos 't Hooft-Polyakov. No excluye otros monopolos topológicos que podrían surgir de la topología no trivial del propio espacio-tiempo, como el ejemplo estándar de un$\mathrm{U}(1)$monopolo sentado en el origen de un$(\mathbb{R}^3/\{0\})\times \mathbb{R}$, véase, por ejemplo, esta pregunta y respuesta .