¿Cuál es la explicación matemática de la aparición de monopolos magnéticos durante el universo primitivo?

¿Por qué ocurren estos defectos topológicos en primer lugar?

No ocurren.

No ha habido detección experimental de monopolos magnéticos hasta la fecha, por lo que existe una discrepancia entre experimento y teoría que debe solucionarse mediante la incorporación de monopolos magnéticos en el marco actual.

En última instancia, la física está impulsada por hallazgos experimentales, que (¿todavía?) No han encontrado monopolos, por lo que digo "No ocurren". Como dijo Feynman:

No importa cuán hermosa sea tu teoría, no importa cuán inteligente seas. Si no está de acuerdo con el experimento, está mal

Entonces. ¿De dónde viene el "discurso del monopolo magnético"?

Con el interés de mantener las matemáticas a un nivel de pregrado, según su solicitud, evitaré las demostraciones y solo mostraré los resultados. Creo que las matemáticas son bastante accesibles en esta revisión (ya mencionada en los comentarios a la pregunta) de mi antiguo profesor Arttu Rajantie (trivia divertida).

Algunas teorías físicas se verían más elegantes y simétricas, y proporcionarían una prueba teórica de los hechos, por ejemplo, la cuantificación de la carga eléctrica (que de hecho se observa que es cierto en el mundo real), si existieran monopolos magnéticos:

1) La electrodinámica clásica tendría una simetría de dualidad ("hermosa") entre campos eléctricos y magnéticos :

• De la misma manera que las líneas de campo eléctrico comienzan y terminan en cargas eléctricas$q$, las líneas de campo magnético comenzarían y terminarían en cargas magnéticas$g$.
• Las ecuaciones de Maxwell permanecerían sin cambios bajo la transformación$\mathbf{E}\rightarrow \mathbf{B}$y$\mathbf{B}\rightarrow -\mathbf{E}.$
• La fuerza de Lorentz para una carga eléctrica (magnética) que se mueve en un campo EM también obedecería a la simetría antes mencionada: $$\mathbf{F}_{\text{on q}} = q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}) \quad \text{and} \quad \mathbf{F}_{\text{on g}} = g(\mathbf{B}-\mathbf{v}\times \mathbf{E})$$
• El campo eléctrico y el campo magnético de una carga puntual se verían exactamente iguales: $$\mathbf{E} = q\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2} \quad \text{and} \quad \mathbf{B} = g\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.$$

En resumen, la electrodinámica clásica sería perfectamente compatible con esta simetría de dualidad, cuya ausencia "sugiere" que está "rota".

2) Los monopolos magnéticos en la mecánica cuántica conducirían a un requisito teórico para la cuantificación de la carga eléctrica .

Esto se conoce como la condición de cuantificación de Dirac y, de hecho, es un poco sutil y le remito la revisión para la historia completa. Pero con el interés de mantenerlo a nivel de pregrado: si tuviera que realizar un experimento de doble rendija con electrones, obtendría un patrón de interferencia cuyo perfil espacial se rige por la fase adquirida por la función de onda del electrón entre la rendija y la pantalla. Si ahora colocara una fuente de flujo magnético (por ejemplo, un solenoide o esta cosa de ingeniería útil llamada cuerda de Dirac ) justo antes de las rendijas, haría que los electrones tomaran una fase adicional.$\Delta \theta$( imagen ):

De hecho, esto ya se ha observado en el efecto Aharnov-Bohm y esta fase viene dada por:

$$\Delta\theta = q \oint_C \mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r},$$

dónde$C$es el contorno cerrado en la imagen: fuente$\rightarrow$pantalla$\rightarrow$volver a la fuente.

Ahora, si el vector potencial magnético$\mathbf{A}$fuera causado por un monopolo magnético, entonces tendría un$g$en él (ver la expresión clásica para el campo de carga magnética puntual arriba), lo que significa que$\Delta \theta \propto q\cdot g$. Pero una fase de la mecánica cuántica sólo tiene un módulo significativo.$2\pi$, lo que lleva a:

$$\frac{qg}{2\pi} \in \mathbb{Z},$$ es decir, la condición de cuantificación de Dirac que dice que, si existieran cargas de monopolo magnético g , entonces la carga eléctrica$q$estaría cuantizado. Esto es tentador porque de hecho se observa que es cierto en la naturaleza, todas las cargas eléctricas son múltiplos enteros de$\pm e/3$, la carga de los quarks.

3) Los monopolos magnéticos surgieron como un subproducto de las teorías alternativas electrodébiles y de gran unificación (GUT)

Las matemáticas de la ruptura de la simetría electrodébil a través del mecanismo de Higgs no son exactamente de pregrado, pero basta con decir que algunas personas descubrieron que el electromagnetismo y la interacción débil podrían describirse bajo un marco unificado si se supusiera una simetría de grupo particular ($SU(2)_L \times U(1)_Y$) y la existencia de otro campo llamado campo de Higgs . Una transición de fase que ocurrió cuando el universo primitivo se estaba enfriando, entonces, "rompió" esta simetría y nos dio el electromagnetismo separado y la interacción débil que experimentamos hoy.

Resulta que otras personas tenían una teoría similar con una simetría de grupo diferente (primero$SO(3)$, entonces$SU(5)$). Estas teorías también tenían un (o dos) campo de Higgs, que era un campo vectorial 3D. La misma transición de fase mencionada anteriormente rompería la simetría 3D y la obligaría a "elegir una dirección". Para resumir, hay una configuración en la que se ha "seleccionado" una dirección pero no es homogénea, conocida como configuración de erizo o solución monopolar de 't Hooft-Polyakov :

(aparte: dado que esta cosa no se puede deformar continuamente a algo plano, se lo conoce como un defecto topológico)

Uno puede calcular el campo magnético de esta configuración (el artículo de 1974 't Hooft ), y resulta ser el campo de un monopolo magnético con una carga magnética.$g = \frac{4\pi}{q}$.

Ya que preguntaste específicamente

¿Por qué estos defectos/partículas deben llevar una carga magnética?

Supongo que el argumento de "resulta" no te satisface.
La razón de esto es que el electromagnetismo corresponde a un$U(1)$simetría de grupo, que es solo un círculo de radio$1$en el diagrama complejo de Argand. Hay una simetría obvia sobre el eje z , el eje que pasa por el centro del círculo. Entonces, el electromagnetismo y, por lo tanto, los campos eléctricos y magnéticos están relacionados con la rotación alrededor de este eje. En esta teoría, el eje es la dirección del vector del campo de Higgs después de la ruptura de la simetría (es decir, la dirección que se ha "elegido").

--

Primero se teorizó que la masa de esta partícula era$100$GeV (en el$SO(3)$teoría) y luego$10^{15}$GeV (en el$SU(5)$). La última teoría también introduciría un canal para el decaimiento de protones . Ni las partículas ni la desintegración de protones se ha observado (todavía).

¿Qué pasa con la cosmología y el universo primitivo?

Veo que mencionas "universo primitivo" en el título y usaste la etiqueta "cosmología".

Si las leyes fundamentales de la física permitieran que existieran los monopolos magnéticos, entonces existe la posibilidad de que se crearan junto con todo lo demás en el Big Bang o poco después en el universo primitivo. Entonces, uno debería poder encontrarlos. No hace falta decir que nadie ha encontrado uno (todavía).

De hecho, esto se conoce como el problema del monopolo .

Y, de hecho, hay múltiples teorías que intentan explicar esta aparente falta de monopolos (aparte de "no existen"), incluida la inflación (cósmica) que habría estirado tanto el espacio-tiempo en tan poco tiempo, que han dispersado el reservorio de monopolo magnético ya escaso a una densidad extremadamente diluida, lo que hace que sea muy poco probable que se detecten. Agregué este último párrafo porque tenías la etiqueta 'expansión espacial', que eliminé a favor de la etiqueta 'electromagnetismo' porque sentí que tenías que tener esta, y 'cosmología' ya cubría las cosas del "espacio".