Así que hoy en mi clase de física derivamos el centro de masa de un cono uniforme y todo tenía sentido, pero cerca del final de la clase un estudiante preguntó:
"Si tuvieras que dividir un objeto en dos partes con un plano a través de su centro de masa, ¿las masas de los dos objetos serían iguales?"
Y me hizo pensar en nuestro ejemplo del cono en clase. Así que fui y calculé los volúmenes por encima y por debajo del centro de masa de un cono para probar el caso más básico para ver si mi intuición se mantenía.
Resultó que los volúmenes por encima y por debajo del centro de masa no son iguales. Mi lógica aquí era que, dado que el objeto es uniforme, el volumen se correlaciona con la masa, por lo que las masas de arriba y de abajo no son iguales. Pero si las masas arriba y abajo no son iguales, ¿cómo puede estar allí el centro de masa? ¿Alguien puede explicarme por qué es así o darme los cálculos para demostrar que los volúmenes por encima y por debajo del centro de masa de un cono son iguales?
Tienes una conjetura:
Cortar un objeto en dos pedazos usando un plano a través de su centro de masa produce dos pedazos con igual masa.
Ha encontrado un contraejemplo a esto, por lo que debe ser falso en general.
La razón por la que esto no funciona en su caso es porque si cada pieza tuviera la misma masa, entonces el COM de cada pieza individual tendría que ser equidistante del COM del cono original. Este no es el caso si usamos un plano paralelo a la base del cono.
Esto muestra la idea más general del centro de masa: depende tanto de la cantidad como de la ubicación (o distribución) de las masas. Para un ejemplo aún más simplificado, imagine dos masas puntuales con masa y separados por cierta distancia . Es fácil demostrar que el centro de masa se encuentra a una distancia de la partícula de masa . Por lo tanto, si "cortamos" nuestro sistema en dos partes en el centro de masa, encontraremos que todavía tenemos partículas de masa desigual.
Su problema es análogo a mi ejemplo más simple. Puede pensar en cada nueva sección después del corte como su propia masa puntual ubicada en su propio centro de masa. Cada pieza tendrá una masa diferente, y cada centro de masa tendrá una distancia diferente al centro de masa original.
Por supuesto, esto no significa que nunca haya una forma de cortar el objeto a través del COM y obtener dos piezas con la misma masa. Todo nuestro razonamiento muestra que es posible que esto no sea así. El trabajo que dices haber hecho muestra que esta posibilidad realmente ocurre en la realidad.
Porque la masa que está más lejos del centro tiene más inercia rotacional que la masa más cerca. Si pateas una lata en su CM se mueve sin voltearse, si la lata tenía más masa en la parte inferior su CM es menor. Así que no es solo la cantidad sino la distancia lo que es importante.
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