¿Por qué los tonos puros se representan como ondas sinusoidales?

Solo voy a responder a la pregunta "¿Qué pasa con la tangente u otras funciones?", Ya que el resto parece haberse manejado bastante bien.

Todos los sonidos que escuchamos con un tono o nota definidos pueden representarse mediante una función periódica. Como escribí en mi comentario, cualquier forma repetida representa una función periódica. La mayoría de las funciones periódicas, tanto en el mundo real como en la teoría, son bastante complicadas, al menos matemáticamente.

Si queremos hacer matemáticas con los sonidos que escuchamos, tendremos que controlar estas funciones periódicas. Lo que realmente ayudaría es una forma de simplificarlos. Como se discutió, el análisis de Fourier nos permite hacer exactamente eso. Podemos tomar una función periódica complicada con algunas matemáticas realmente molestas y dividirla en funciones periódicas más simples donde las matemáticas son mucho más fáciles.

Las funciones periódicas más simples son el seno y el coseno, son prácticamente lo mismo y están estrechamente relacionadas. La tangente es una función periódica muy famosa y es bastante útil en trigonometría básica (literalmente, el estudio de triángulos). La tangente tiene muchos otros usos, pero la mayoría de las personas primero ven la función tangente como una forma de analizar triángulos.

Aunque por lo general aprendemos sobre el seno, el coseno y la tangente al mismo tiempo, la función tangente en realidad es diferente del seno y el coseno en algunos aspectos importantes. No es continuo , lo que significa que no podrías dibujar mucho sin levantar el lápiz y volver a dejarlo. Es incluso peor que eso, porque tiene un número infinito de discontinuidades (lugares donde tienes que tomar el lápiz). Tenga en cuenta que no solo es un marcado contraste con el seno y el coseno, sino también con las funciones periódicas que modelan las ondas de sonido. Las ondas sonoras son funciones continuas si las graficamos.

Entonces, si queremos tomar una función periódica y dividirla en partes simples, no queremos dividirla en partes tangentes. La tangente no nos ayudará, es más probable que empeore las cosas. Cuando Fourier (el matemático que inventó el análisis de Fourier) intentaba desarmar funciones periódicas, buscaba una manera de convertirlas en senos y cosenos, no en ninguna otra función periódica (y hay muchas).

Podría escribir varias páginas sobre por qué el seno y el coseno no son simplemente funciones periódicas simples, en realidad existen las más simples posibles, pero no creo que este sea el mejor lugar para eso. Permítanme decir brevemente, sin embargo, que un círculo es quizás la forma más simple, y si sigue un punto mientras gira alrededor de un círculo, su movimiento vertical traza una onda sinusoidal al mismo tiempo que su movimiento horizontal traza un coseno ( esto depende de en qué parte del círculo comience el punto, pero uno será seno y el otro coseno, o al menos uno estará un cuarto de ciclo detrás del otro en fase).

A continuación se muestra un video de eso, y con suerte esto le dará una forma de ver cómo la onda sinusoidal (o coseno, en realidad, lo mismo) es la función periódica más simple y, por lo tanto, en la que queremos dividir las funciones más complicadas, y también la que a nuestros oídos nos parece la más básica si la convertimos en sonido.

Consulte también la versión física de esta pregunta con una respuesta similar: https://physics.stackexchange.com/questions/352754/why-cosine-and-sine-functions-are-used-while-representing-a-signal-or -una ola

El seno y el coseno son iguales, solo compensados ​​por 90 grados. Forman un "par de cuadratura": si sumas sus cuadrados, obtienes una constante. Cuando dibuja una onda sinusoidal como representación de audio, representa presión (en comparación con neutral) en algún punto de "escucha" o una densidad de impulso. Ambos juntos forman nuevamente un par en cuadratura: si elevas al cuadrado y sumas sus respectivos tamaños para un ruido de onda sinusoidal estacionario, obtienes una constante que representa la densidad de energía del sonido.

Ahora, ¿por qué ondas sinusoidales? Algunas personas afirman que se debe a que puedes dejar que todo esté compuesto por ondas sinusoidales, pero ese es un razonamiento circular: casi cualquier forma de onda puede usarse como base para descomponer señales: uno puede representar fácilmente una onda sinusoidal como una composición de un número infinito de ondas cuadradas. al igual que es posible hacer lo contrario.

Sin embargo, lo que distingue a las ondas sinusoidales es que son las funciones propias de los sistemas lineales invariantes en el tiempo (que son la gran mayoría de los sistemas que funcionan con sonido: cualquier entorno ambiental sin alguna parte suelta, amplificadores siempre que no estén saturados, retardo circuitos, ecualizadores y muchos otros): si alimenta estos sistemas con una onda sinusoidal, la salida será una onda sinusoidal de la misma frecuencia, aunque posiblemente con un volumen y una fase diferentes.

Ninguna otra forma de onda tiene esa característica: las ondas cuadradas no permanecen cuadradas cuando se alimentan a través de tales sistemas, las ondas de diente de sierra no permanecen como diente de sierra, los barridos de frecuencia de amplitud constante cambian a barridos con amplitud variable.

No existe tal cosa como una onda sinusoidal "amortiguada" detrás de puertas cerradas: puede atenuarse pero su calidad de sonido es totalmente la misma.

Porque un círculo es la forma periódica más pura:

Cualquier función ortogonal periódica podría formar la base de sonidos "menos puros" más complicados (es decir, sonidos con muchos armónicos). Vea el excelente (¡y gratuito!) Music: A Mathematical Oferta de Dave Benson (Cambridge U. Press), cap. 2, "Teoría de Fourier".

Me gusta mucho el comienzo de Darren, convirtiendo tu pregunta en "¿Por qué percibimos las ondas sinusoidales como tonos puros?"

Cuando la onda que viaja por el aire llega al tímpano, el tímpano vibra. Esa vibración se transfiere a los tres huesecillos del oído medio. Para resumir, el penúltimo paso para lograr la audición es que el fluido dentro de la cosa con forma de caracol avanza y retrocede al igual que lo hicieron las moléculas de aire mientras la onda de sonido viajaba por el aire hacia su oído. Ahora, dentro de la cosita con forma de caracol, hay una gran cantidad de pelitos adheridos al "piso" oa la "pared". Se balancean con la vibración que se comunica desde el oído medio. Oscilan, como una onda sinusoidal: adelante y atrás, adelante y atrás.

La frecuencia de oscilación da lugar a diferentes tonos.

Para complementar el impresionante trasfondo matemático expuesto en las otras respuestas (felicitaciones al enlace de Geremia), quiero resumir el mío, para obtener dos aspectos prácticos más en:

• Una combinación oído/cerebro descompone un tono en un tono base y armónicos. (Que otras descomposiciones también sean teóricamente posibles, por lo tanto, no tiene impacto). Los armónicos añaden lo que se llama timbre. Obviamente se logra un tono bastante puro, si se elimina el timbre. Para la experiencia directa, escuche un generador de seno, o en su defecto, una flauta, que está bastante cerca del seno y en contraste con un clarinete, que está lejos de él.

• Una onda sinusoidal representa una oscilación armónica. Ahora tengo que recurrir a una onda mecánica. Una oscilación armónica es una oscilación no amortiguada, en la que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento del equilibrio. Para un péndulo esto significa proporcional al ángulo con la vertical. No hay fórmula más simple que la proporción directa, por lo tanto, la onda sinusoidal es la onda más simple.