¿Por qué los términos trascendentales en las leyes de la naturaleza son adimensionales?

A lo largo de mis años en ingeniería nuclear, siempre ha ocurrido que en las relaciones físicas, los argumentos de las funciones trascendentales, por ejemplo, la exponencial en la ley de la desintegración radiactiva, norte = norte 0 mi − λ t , debe ser adimensional para que el resultado sea correspondientemente adimensional.

Sin embargo, en relaciones puramente empíricas, he observado que está bien que las funciones trascendentales tengan argumentos dimensionales siempre que se ajusten a los resultados de los experimentos. Por ejemplo, el espectro de energía de los neutrones rápidos de fisión se ajusta mediante:

x ( mi ) = 0.453 mi − 1.036 mi pecado 2.29 mi .
¿O el 1.036 en la exponencial tiene unidades de eV − 1 ?

¿Es correcta mi observación? Y si es así, ¿cuál es la base de todo eso? Traté de profundizar en el análisis dimensional, pero no pude entender mucho.

Actualización el 14 de enero de 2020:

Encontré una idea en Wikipedia que creo que, con suerte, enriquecerá la discusión.

Un problema con las funciones trascendentales es que: aplicar una operación no algebraica a una cantidad dimensional genera resultados paradójicos. Por ejemplo, registro a ( 5 L ) = registro a ( 3 ) + registro a ( L ) , dónde L es la dimensión de la longitud, y a es una base arbitraria.

Esto también plantea la pregunta: ¿es registro a ( L ) ¿dimensional? ¿Una función trascendental se vuelve dimensional cuando se alimenta con un argumento dimensional?

Respuestas (3)

Para que una teoría tenga sentido, debe hacer predicciones útiles independientemente de las unidades que utilice.

Para fórmulas algebraicas, eso generalmente termina brindándole constantes en la fórmula con diferentes valores. La gravedad de Newton se ve exactamente igual en unidades inglesas y métricas, excepto que la constante G tiene un valor numérico diferente.

Pero eso no funciona para las funciones trascendentales. mi 24 cuando se trabaja en pulgadas y mi 2 cuando trabajar en pies no se puede igualar con una constante delante de la expresión; ese número sería diferente para diferentes valores de entrada, por lo tanto, no sería constante.

En su lugar, especificamos qué unidades debe tener el argumento. "Debe estar en pies", si eso hace que los números funcionen, proporciona una convención.

A veces escribiremos eso como

mi X / ( 1 F t )
Luego, si x está en otras unidades, se le recuerda que convierta.

A veces, esto sucede automáticamente. Por ejemplo toda la vida:

mi − t / τ
Ambas cantidades tienen unidades y estamos acostumbrados a hacerlas consistentes antes de dividir. Una vez que hacemos eso, se convierte en "3 vidas" y las unidades en las que medimos ya no importan: el argumento trascendental nuevamente no tiene unidades.

Entonces, para las relaciones empíricas, tenemos que especificar las unidades junto con la relación. ¡Veo eso mucho pero no pude hacer la conexión! ¡Muchas gracias!

Tiene razón, en el caso que cita, 1.036 tiene dimensión eV − 1 (asumiendo mi se mide en eV).

Todas las funciones se pueden escribir en términos de argumentos adimensionales, no solo los trascendentales. Es común escribir ecuaciones en forma adimensional, donde todas las variables son adimensionales, es decir, la relación de alguna cantidad medida a un "valor característico" de la misma dimensión que establece la escala.

En su caso, el valor característico es mi 0 = ( 1 / 1.036 ) mi V , y establece la escala. Valores de mi menos que mi 0 son "pequeños", los mayores son "grandes". Cuando mi = mi 0 el valor de la función es del orden de la unidad (uno).

Cada función se puede escribir con argumentos adimensionales. Para funciones "normales" racionales, de ley de potencia, algebraicas, etc., el valor característico se puede eliminar si se desea, y la calidad adimensional es menos evidente.

mi X = 1 + X + X 2 + . . .

Por lo tanto si X tiene unidades, mi X ni siquiera tiene sentido por análisis dimensional. El argumento de log y cualquier función trigonométrica tampoco tiene unidades por la misma razón.

Tenga en cuenta que, según su argumento, esto es cierto incluso para los polinomios.
Sí. ¿No debería ser así? Quien haya votado negativo, si mi respuesta es incorrecta por alguna razón, me gustaría entender.
También tenga en cuenta que solo es cierto para los polinomios si los coeficientes no tienen unidades, ya que automáticamente lo son en e^x y tal.
@doublefelix Si los coeficientes del polinomio tienen dimensiones, entonces su suma debe tener dimensiones. Entonces uno puede dividir ambos lados por una cantidad de esa dimensión y entonces toda la ecuación es adimensional. Y si divides por alguna cantidad característica del problema (una longitud, una energía, ...) entonces la ecuación resultante es universal en el sentido de que funcionará para situaciones de cualquier "tamaño" y cualquier sistema de unidades. Además de todo eso, ¡una ecuación universal sin dimensiones hace gráficos mucho más agradables! No hay unidades en los ejes y todos los valores están cerca de la unidad.
No veo la relevancia de la pregunta en cuestión @garyp
Estoy señalando que no es el caso que las ecuaciones polinómicas puedan expresarse en términos de variables adimensionales solo si sus coeficientes no tienen unidades.
¿Por qué los términos trascendentales en las leyes de la naturaleza son adimensionales?
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