¿Por qué los planeadores con lastre vuelan más rápido?

El hecho: los planeadores tienen tanques de lastre que se pueden llenar con agua. La adición de lastre aumenta el peso y esto permite que el planeador vuele a velocidades aerodinámicas más rápidas mientras mantiene la misma relación de planeo. Esto significa que si dos planeadores P1 y P2, siendo ambos del mismo modelo, parten de algún punto A, y P2 pesa más que P1, ambos terminarán en el punto B, pero P2 llegará antes que P1. El movimiento es rectilíneo, y durante el vuelo cada avión es capaz de mantener una velocidad aerodinámica y una velocidad vertical constantes, siendo la velocidad de P2 mayor que la de P1. El ángulo de ataque también puede ser diferente. Este es un pequeño diagrama que hice:

Para simplificar, supongamos que el movimiento se realiza en el interior de aire uniforme, sin variación de densidad con la altura, y vientos en calma. He leído algunos manuales de aviación, y la explicación más frecuente es que el planeador conserva la misma relación Elevación/Arrastre (L/D), pero en ningún lugar de los libros que he leído hasta ahora se incluye la prueba. Estoy tratando con mis muy limitadas habilidades de llegar a una expresión que relacione la velocidad con el peso, pero casi siempre me pierdo en el proceso.

Este segundo diagrama que hice muestra las diferentes fuerzas involucradas. Como los planeadores (generalmente) no tienen motor, no hay empuje, y las únicas fuerzas presentes son Ascensor (L), Arrastre (D) y Peso (W). (Lo siento, las longitudes de las flechas no son proporcionales a las magnitudes de los vectores):

Como el movimiento es uniforme, la aceleración es nula. Entonces, la segunda ley de Newton nos dice que:

${\vec F = m·\vec a}$

Como la masa no puede ser nula, entonces la fuerza resultante F debería ser nula. Entonces tenemos:

${\vec F = \vec F_x + \vec F_y}$
${\vec F_x = \vec L_x + \vec D_x = \vec 0}$
${\vec F_y = \vec L_y + \vec D_y + \vec W_y= \vec 0}$

La fórmula de elevación es:

${L = \frac{C_L(\alpha)V^2 \rho S}{2} }$

Dónde:

• ${C_L(\alpha)}$Es el coeficiente de sustentación, que es proporcional al ángulo de ataque por debajo de la pérdida.
• ${V}$es la velocidad Lástima del manual de la FAA por no detallar qué velocidad era. Según Wikipedia, es IAS (velocidad aérea indicada) en la dirección del movimiento, lo que tiene sentido.
• ${\rho}$es la densidad del aire
• S es el área de la superficie del ala.

La fórmula de arrastre es:

${D = C_D(\alpha) q S }$

Dónde:

• ${C_D(\alpha)}$Es el coeficiente de arrastre, que es una función del ángulo de ataque, aproximadamente cuadrático.
• ${q}$es la presión dinámica (???).
• S es el área de la superficie del ala.

De nuevo, perdón por no incluir unidades. Continué transformando las expresiones pero no pude obtener una ecuación W/V clara, en su lugar terminé con una expresión trigonométrica desordenada. Podría haber una manera más fácil, ¿quizás aproximando algunos coeficientes? De todos modos, mis preguntas:

1. ¿Son correctas todas las suposiciones anteriores?
2. En la realidad, la velocidad del aire puede ser constante, pero la velocidad respecto al suelo es algo diferente. ¿El movimiento es realmente uniforme?

(Perdón por mi horrible inglés, no es mi idioma nativo)

Gracias de antemano.

EDITAR:
Aquí está mi intento de expresar la velocidad como función de la masa:

${\vec F_y = \vec L_y + \vec D_y + \vec W_y= \vec 0}$

${|\vec L|\cos(\varphi) = -|\vec D|\sin(\varphi) -gm}$

${\frac{C_L(\alpha)V^2 \rho S}{2}\cos(\varphi) = -C_D(\alpha) q S \sin(\varphi) -gm}$

Como los coeficientes de sustentación y arrastre son constantes para un ángulo de ataque dado,${\rho}$y q son constantes porque el aire es uniforme, y S es constante porque el planeador vuela sin modificar el área del ala (sin agregar flaps), podemos agrupar las constantes y esto es lo que obtenemos:

${k V^2 = -g m + k'}$