¿Por qué las secciones transversales de neutrino y antineutrino son diferentes?

Es "fácil" demostrar que la sección transversal de las 2 reacciones:

$$(1)~~~\nu_{\mu} + d \to \mu^- + u~~~~~~(2)~~~\bar{\nu}_{\mu} + u \to \mu^+ + d$$ son diferentes. El cálculo ingenuo da un factor $\sigma_1/\sigma_2 = 3$Como se muestra abajo. El hecho de que la cifra en el grupo de datos de partículas dé en realidad casi un factor 2 debe tener en cuenta la función estructural del nucleón.

Entonces, verifiquemos primero el factor 3 y expliquemos por qué: Despreciando todas las masas de fermiones, asumiendo así una energía lo suficientemente grande pero aún despreciable con respecto a la$W$bosones, las amplitudes de los 2 procesos son:

$$\mathcal{M}_1=\frac{G_F}{\sqrt{2}}[\bar{u}_u \gamma^{\mu}(1-\gamma^5)u_d][\bar{u}_{\mu} \gamma_{\mu} (1-\gamma^5)u_{\nu}]$$ $$\mathcal{M}_2=\frac{G_F}{\sqrt{2}}[\bar{u}_d \gamma^{\mu}(1-\gamma^5)u_u][\bar{v}_{\nu} \gamma_{\mu} (1-\gamma^5)v_{\mu}]$$ dónde $G_F$es la constante de acoplamiento de Fermi y $u$, $v$los espinores para partículas y antipartículas. El ángulo Cabibbo ha sido despreciado ( $\cos \theta_c =1)$. Las diferencias entre las 2 amplitudes está relacionada con la presencia de antiespinores en $\mathcal{M}_2$en lugar de espinores como en $\mathcal{M}_1$. Primero observe que para los antiespinores, la antipartícula entrante aparece en el lado izquierdo de la $\gamma^\mu$mientras que para los espinores, la partícula entrante está en el lado derecho. Esta será la fuente de la $u$Variable de Mandelstam que aparece después de elevar al cuadrado/promediar la amplitud $\mathcal{M}_2$abajo. En segundo lugar, y este es el punto principal, $(1-\gamma^5)$es un proyector de quiralidad (módulo a factor 2). Esto es esto $(1-\gamma^5)$matriz que es responsable de la naturaleza quiral de la interacción débil. Cuando se aplica a un espinor, selecciona partículas quirales levógiras, mientras que cuando se aplica a un espinor, selecciona antipartículas quirales dextrógiras. Veremos las consecuencias unas líneas más abajo.

Elevando al cuadrado las amplitudes, promediando el espín del quark inicial y sumando los espines del quark saliente y el leptón, se obtiene:

$$|\overline{\mathcal{M}}_1|^2 = 16 G_F^2 s^2$$ $$|\overline{\mathcal{M}}_2|^2 = 16 G_F^2 u^2$$ dónde $s$y $u$son las 2 variables de Mandelstam. (Denotando por $p_1,p_2$los 4 momentos de las 2 partículas en el estado inicial y $p_3,p_4$las de las 2 partículas en los estados finales, tenemos $s=(p_1+p_2)^2$y $u=(p_1-p_4)^2$). Usando una fórmula bien conocida para la sección transversal diferencial $\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{1}{64\pi^2 s} |\overline{\mathcal{M}}|^2$(válido en nuestra aproximación sin masa, $\Omega$siendo el ángulo sólido en el marco del centro de masa) da: $$\frac{d\sigma_1}{d\Omega}= \frac{G^2_F}{4\pi^2}s$$ $$\frac{d\sigma_2}{d\Omega}= \frac{G^2_F}{4\pi^2}\frac{u^2}{s} = \frac{G^2_F}{16\pi^2}s(1+\cos\theta)^2$$ con $\theta$el ángulo en el marco del centro de masa entre el $\bar{\nu}_{\mu}$y el $\mu^+$. En esta etapa podemos apreciar mejor la estructura quiral de la interacción débil. De hecho, la interacción débil (a través de corriente cargada, es decir, $W$intercambio de bosones) involucra solo la quiralidad levógira de las partículas y la quiralidad levógira de las antipartículas. Con la aproximación sin masa, la quiralidad es equivalente a la helicidad, la proyección del espín a lo largo de la dirección del impulso. Puedes notar que por $\theta=\pi$, $\frac{d\sigma_2}{d\Omega}=0$. Está relacionado con esta estructura quiral. De hecho, el $\bar{\nu}_{\mu}$debe ser diestro y el $u$quark zurdo. Por lo tanto, en el marco del centro de masa, el giro de estas 2 partículas está en la misma dirección (ya que están espalda con espalda) dando una proyección en el $z$eje $s_z=1$(o -1 dependiendo de su elección). Por conservación del momento angular, la $s_z$del estado final debe ser también $s_z = 1$. pero con un angulo $\theta=\pi$, eso significa que el $\mu^+$va en sentido contrario al $\bar{\nu}_{\mu}$. Ya que tiene el mismo $s_z$debe ser para zurdos (ya que el $\bar{\nu}_{\mu}$era diestro). Pero, la interacción débil solo involucra componentes diestros de la antipartícula. $\mu^+$. ¡Así que necesariamente esta configuración no puede ser posible explicando la sección transversal nula en este ángulo! Vemos claramente la diferencia entre las 2 reacciones en este paso. Podemos ir un poco más allá e integrar sobre el ángulo sólido, dando: $$\sigma_1 = \frac{G^2_F}{\pi} s$$ $$\sigma_2 = \frac{G^2_F}{3\pi} s$$ Tenemos así el factor 3 anunciado para la relación de sección transversal a nivel de quark. Pasar de quark a nucleón es un poco complicado y aquí solo doy el resultado suponiendo un objetivo compuesto por tantos protones como neutrones: $$\sigma_{\nu N} = \frac{G^2_F}{\pi}\frac{s}{2}\int_0^1 x(q(x)+\frac{\bar{q}(x)}{3})dx$$ $$\sigma_{\bar{\nu} N} = \frac{G^2_F}{\pi}\frac{s}{2}\int_0^1 x(\bar{q}(x)+\frac{q(x)}{3})dx$$ la función $q(x)$y $\bar{q}(x)$siendo la Función de Distribución de Parton (PDF) del quark y anti-quark. Hay que tener en cuenta los quarks y antiquarks que vienen del mar (fluctuaciones cuánticas) dentro del nucleón. El PDF tiene que ser medido. Se sabe (medido) que cerca de la mitad del momento del protón es transportado por quarks (la otra mitad por gluones), lo que significa que $\int_0^1 x(q(x)+\bar{q}(x)) dx= 0.5$. La contribución individual de los quarks y antiquarks al momento del protón se trata de: $$\int_0^1 x q(x) dx = 42\%~~~~~ \int_0^1 x \bar{q}(x) dx = 9\%$$ El resultado de las integrales anteriores es tal que la proporción de las 2 secciones transversales es bastante cercana a 2 (en lugar de 3 en el nivel de quark).