¿Por qué las relaciones de frecuencia de las notas en las escalas pitagóricas son 9/8 y 256/243?

Si el factor 3/2 abarca más de 7 semitonos, la relación entre cada semitono vecino tiene que ser x^7 = 3/2o x = (3/2)^(1/7).

Eso es cierto si todos los semitonos son del mismo tamaño, pero no puede serlo si desea usar quintas puras y también cerrar el círculo de quintas en un teclado estándar de 12 tonos. ¹

La afinación pitagórica no es un sistema irracional. Los semitonos en la afinación pitagórica no son la séptima parte (geométrica) de 1.5. Más bien, cada tono se encuentra con la relación 3/2, ajustando la octava donde sea necesario, alrededor del círculo de quintas. Entonces C a G es 3:2, G a D es 3:2 y C a D es 9:4. Sin embargo, esa es una novena mayor, que es más de una octava, por lo que dividir por 2 para obtener la segunda mayor da 9:8. A se encuentra multiplicando nuevamente por 3:2, por lo tanto, 27:16, y E se encuentra multiplicando nuevamente por 3:4, por lo tanto, 81:64. Continúe y eventualmente llegará a B♯, que no es lo mismo que C, con un valor de 3 ¹² :2 ¹⁷ .

En el camino, tocará C♯ en 3 ⁷ :2 ¹¹ , y si lo eleva al cuadrado, obtendrá C-doble sostenido en 3 ¹⁴ :2 ²² , que no es lo mismo que D en 9:8. El sistema pitagórico puro no cierra el círculo de quintas; es más bien una espiral.

Si usa su enfoque de dividir el quinto de C a G en siete semitonos iguales, entonces el quinto entre G y D no tiene una proporción de 3: 2 sino de 1.497. Eso es un pelo más pequeño (alrededor de 3,35 centavos) que una quinta pitagórica.

Nota al pie 1: puede tener todos los semitonos iguales si divide la octava en 12 partes iguales, por supuesto, que es un temperamento igual de doce tonos, pero luego las quintas son un poquito más pequeñas que 3:2.

Hay un par de problemas diferentes aquí. Como señala Phoog, a los pitagóricos les encantaban los números racionales . Para ellos, los "números irracionales" (como varias raíces de 2 o 3/2) eran, bueno... irracionales .

Phoog también señala que te encuentras con un problema cuando sumas un montón de quintas perfectas juntas. Si usa una proporción de 3:2 y pasa por 12 quintas perfectas, teóricamente necesita sumar siete proporciones de octava de 2:1 para que se cierre el "círculo de quintas". Pero no lo haces. Ningún poder de 3:2 te dará un poder de 2:1.

La pregunta supone que esta proporción de 3:2 es absoluta en lugar de la octava de 2:1, pero eso aún crea problemas en las escalas de afinación.

En cuanto a la razón por la cual las escalas pitagóricas suelen tener las proporciones particulares mencionadas en la pregunta (9: 8 y 256: 243), bueno, tiene que ver con el antiguo método griego de derivar escalas, que se basaba en cuartos perfectos. con una relación de 4:3. Los griegos tenían muchas formas de dividir una cuarta en diferentes notas. Pero una forma "diatónica" era usar "tonos completos", que normalmente se sintonizaban en una proporción de 9:8. ¿Por qué 9:8? Porque 9:8 es la diferencia entre una quinta perfecta de 3:2 y una cuarta perfecta de 4:3. (Divida 3/2 por 4/3 y podrá ver esto).

Entonces, al dividir la cuarta perfecta, una forma de hacerlo es usar dos tonos enteros de 9:8. Pero luego, el último intervalo con el que terminas es aproximadamente un semitono. La proporción real requerida para completar la cuarta perfecta de 4:3 se puede encontrar quitando dos tonos enteros. Entonces, 4/3 dividido por 9/8 dividido por 9/8 deja 256/243. De ahí viene la otra proporción.

La pregunta asume que todos los semitonos son del mismo tamaño. Esta no era una suposición en la antigua Grecia, aunque es una suposición en el temperamento igualitario moderno. En cambio, los griegos comenzaban afinando los intervalos importantes como una octava 2:1, una quinta 3:2 y una cuarta 4:3. Luego llenarían los "vacíos" como se discutió anteriormente.

Para encontrar las proporciones (irracionales) para una escala moderna de temperamento igual de 12 tonos, debe dividir la proporción de octava (2: 1) en 12 partes, por lo tanto, 2 1/12: ¹ . Eso le dará la proporción correcta de semitonos templados iguales, aunque tenga en cuenta que siete de ellos tampoco le darán una proporción exacta de 3: 2, por las razones expuestas en mis primeros dos párrafos.

Hay un teorema matemático importante que subyace a los problemas de afinación. El resultado es que no existe una afinación "perfecta". El teorema es que no hay potencia de 2 que sea igual a una potencia de 3 (excepto la potencia cero que es 1 en ambos casos). En realidad, no hay potencias de números primos que sean iguales excepto P^0=1. De hecho, no hay potencias de números primos que estén próximas entre sí excepto 8 y 9.

Esto implica que ninguna pila de quintas será igual a ninguna pila de octavas (reemplazar octavas o quintas por terceras, sextas, etc.)

La afinación pitagórica funciona con pilas de quintas con relación 3/2. Dos quintas apiladas dan 9/8 (reduciendo los intervalos entre 1 y 2 por equivalencia de octava cuando corresponda) dando una segunda mayor (CG y GD dando CD). Apilar 2 segundos mayores da 81/64 para un tercio mayor pitagórico; sin embargo, la tercera mayor "justa" debe ser 5/4. La diferencia es audible y empeora con otros intervalos. Incluso agregar una proporción de 5/4 a las proporciones "básicas" no ayuda exactamente. Una guitarra se afina EADGBE (3 cuartos, un tercero y un cuarto que debe dar 2 octavas). El cuarto es el intervalo complementario al quinto con una razón de 4/3 (el inverso de 3/2 reducido a estar entre 1 y 2). De oído (escuchando los latidos) uno puede afinar fácilmente cada cuarto y el tercero, luego los dos E están desafinados. Matemáticamente,4/3* 5/4*4/3=320/81 pero dos octavas deberían ser 4/1 (o 320/80). (Aparte, uno de mis guitarristas que tenía un tono perfecto encontró esto molesto cuando intentaba afinar).

Así que se hacen compromisos cediendo todo el campo del temperamento. El temperamento igual resuelve los problemas de tratar los intervalos por igual, pero puede que no produzca intervalos tan agradables.

Si uno usa la siguiente secuencia de proporciones de intervalo para una escala mayor, el producto de las proporciones, de hecho, suma 2:1 - 9:8, 10:9, 16:15, 9:8, 9:8 , 10:9, 16:15. De hecho, estos segundos mayores y menores pueden derivarse de Pitágoras o armónicos. Usando una escala C, 9:8 es D:C, 10:9 es E:D 16:15 es el semitono C:B y tienes el tetracordio inferior. Conéctalo al tetracordio superior con otro 9:8 y ¡listo! intervalos que suman una octava perfecta.