¿Por qué las poblaciones solo cambian en el segundo orden del campo impulsor?

Question

¿Por qué las poblaciones solo cambian en el segundo orden del campo impulsor?

Física
óptica-cuántica
operador de densidad
mecánica cuántica
teoría de la perturbación

Wolpertinger

En el campo de la óptica cuántica a la hora de resolver ecuaciones maestras es bien sabido que las poblaciones ¹ son constantes de orden lineal en el campo conductor. Es decir, los campos impulsores débiles solo afectarán las coherencias fuera del sistema.

Estoy interesado en cómo se puede hacer más precisa esta declaración y cuál es el sistema más general que se aplica también. Hasta ahora solo pude encontrar derivaciones para sistemas de ejemplo (por ejemplo, sistema de dos niveles) y declaraciones imprecisas de esta noción.

Para ser un poco más formal: Sea un sistema general multinivel con acoplamientos no especificados entre los niveles y un canal de pérdida de cada nivel. El sistema está impulsado por un campo armónico de frecuencia e intensidad dadas y se acopla a (algunos de los) niveles a través de una aproximación dipolar hamiltoniana. Para tal sistema, ¿bajo qué condiciones las poblaciones ¹ solo cambian en el segundo orden del campo impulsor y cómo se puede probar esto en general?

Como ejemplo, una ecuación maestra típica para un sistema de dos niveles es

\dot{ρ} = \frac{1}{i ℏ} [H, ρ] - \frac{γ}{2} (σ^{+} σ^{-} ρ + ρ σ^{+} σ^{-} - 2 σ^{-} ρ σ^{+})

$\dot{\rho} = \frac{1}{i \hbar} \left[H,\rho\right] - \frac{\gamma}{2} \left(\sigma^+ \sigma^- \rho + \rho \sigma^+ \sigma^- - 2 \sigma^- \rho \sigma^+ \right)$

dónde $\sigma^\pm$ son los operadores de subida y bajada para el sistema de dos niveles, $\rho$ es la matriz de densidad del sistema en la imagen de interacción y $H=\hbar \Omega (\sigma^+ + \sigma^-)$ es el hamiltoniano impulsor del láser. $\Omega$ es proporcional al campo impulsor y al elemento de la matriz del dipolo.

Si uno resuelve este sistema (por ejemplo, la mayoría simplemente encuentra el estado estacionario), verá que las poblaciones ¹ no se ven afectadas por la conducción en orden lineal de $\Omega$ . Tenga en cuenta que la pregunta no se trata de un ejemplo, sino de formular esta noción en su forma más general y cómo probarla.

¹ Los elementos diagonales de la matriz de densidad.

domj33

Solo quiero mencionar que su notación de usar operadores sigma en la ecuación maestra no sería útil en un sistema de niveles múltiples. Tal vez algunos se confundan con esto.

domj33

Tal vez otro comentario: la frecuencia de Rabi no es necesariamente proporcional a un campo de conducción. Eso fue más o menos lo que traté de explicar en mi respuesta (que, como acepto, en realidad no responde a su pregunta)

Respuestas (2)

¿Por qué las poblaciones solo cambian en el segundo orden del campo impulsor?

Solo quiero mencionar que su notación de usar operadores sigma en la ecuación maestra no sería útil en un sistema de niveles múltiples. Tal vez algunos se confundan con esto.
Tal vez otro comentario: la frecuencia de Rabi no es necesariamente proporcional a un campo de conducción. Eso fue más o menos lo que traté de explicar en mi respuesta (que, como acepto, en realidad no responde a su pregunta)

Noiralef · Answer 1

Consideraré un sistema general de varios niveles. Como en tu ejemplo, escribamos $\rho$ para la matriz de densidad del sistema en la imagen de interacción. Eso significa que las poblaciones del sistema son* las entradas diagonales de $\rho$ ,

{pag}_{norte} (t) = ⟨ norte | ρ (t) | norte ⟩ .

$p_n(t) = \langle n | \rho(t) | n \rangle .$

Genéricamente, el sistema hamiltoniano (en la imagen de interacción) se puede dividir en dos partes:

H = H^{0} + k .

$H = H^0 + K .$

H^{0}

$H^0$ es la parte diagonal. Por ejemplo, para el sistema de dos niveles es el cambio Lamb/Stark proporcional a

σ^{z}

$\sigma^z$ , que se descuidó en su ejemplo. Por otro lado,

K

$K$ es la parte fuera de la diagonal, es decir, la conducción (en su ejemplo, la

σ^{+}

$\sigma^+$ y

σ^{-}

$\sigma^-$ términos).
Observación :

H

$H$ a menudo depende del tiempo en la práctica. La dependencia del tiempo no cambiaría mucho lo siguiente, y quiero mantener la notación simple.

La evolución temporal de la matriz de densidad es entonces

\dot{ρ} (t) = - \frac{i}{ℏ} [H^{0} + k, ρ (t)] + \hat{D} ρ (t),

$\dot \rho(t) = -\frac{\mathrm i}{\hbar} [H^0 + K, \rho(t)] + \hat D \rho(t) ,$ dónde

\hat{D}

$\hat D$ es la parte disipativa que no es muy importante para esta pregunta. Usando esto, podemos calcular cómo evolucionan las poblaciones en el tiempo:

\begin{matrix} (1) & {\dot{pag}}_{norte} (t) = ⟨ norte | [k, ρ (t)] | norte ⟩ + ⟨ norte | \hat{D} ρ (t) | norte ⟩ . \end{matrix}

$\dot p_n(t) = \langle n | [K, \rho(t)] | n \rangle + \langle n | \hat D \rho(t) | n \rangle . \tag{1}$ Tenga en cuenta que el primer término es cero, porque

⟨ n | [H^{0}, ρ (t)] | n ⟩ = E_{n}^{0} p_{n} (t) - p_{n} (t) E_{n}^{0} = 0

$\langle n | [H^0, \rho(t)] | n \rangle = E^0_n\, p_n(t) - p_n(t)\, E^0_n = 0$ , dónde

E_{n}^{0}

$E^0_n$ son los valores propios de

H^{0}

$H^0$ .

Suponga ahora que la matriz de densidad es diagonal inicialmente:

ρ (0) = \sum_{norte} {pag}_{norte} (0) | norte ⟩ ⟨ norte | .

$\rho(0) = \sum_n p_n(0)\, |n \rangle\!\langle n| .$ En ese caso,

{\dot{pag}}_{norte} (0) = ⟨ norte | \hat{D} ρ (0) | norte ⟩

$\dot p_n(0) = \langle n | \hat D \rho(0) | n \rangle$ no depende de

K

$K$ . El primer término es cero, porque

ρ (0) | n ⟩ = p_{n} (0) | n ⟩

$\rho(0) | n \rangle = p_n(0) | n \rangle$ y podemos usar el mismo truco que usamos antes para

⟨ n | [H^{0}, ρ (t)] | n ⟩

$\langle n | [H^0, \rho(t)] | n \rangle$ .

La disipación hace su trabajo de inmediato, pero la conducción solo cambiará las poblaciones después de un corto tiempo, cuando $\rho(\Delta t)$ ya no es diagonal:

ρ (Δ t) = ρ (0) + (- \frac{i}{ℏ} [k, ρ (0)] + \hat{D} ρ (0)) Δ t

$\rho(\Delta t) = \rho(0) + \left( -\frac{\mathrm i}{\hbar} [K, \rho(0)] + \hat D\rho(0) \right) \Delta t$ de modo que

{\dot{pag}}_{norte} (Δ t) = - \frac{i}{ℏ} ⟨ norte | [k, [k, ρ (0)]] | norte ⟩ Δ t + \dots .

$\dot p_n(\Delta t) = -\frac{\mathrm i}{\hbar} \langle n | [K, [K, \rho(0)]] | n \rangle \Delta t + \cdots .$

Verá que el efecto es bastante general: el campo impulsor solo cambia las poblaciones en segundo orden. Y es fácil de entender, por qué: (1) nos dice que el cambio de las poblaciones debido a $K$ es proporcional a las coherencias. Si el sistema es inicialmente diagonal, la conducción tiene que crear primero estas coherencias.

Si el sistema no es inicialmente diagonal, todo el enunciado no es verdadero en absoluto. Considere su ejemplo sin la parte disipativa, que se puede resolver fácilmente. Para $\rho(0) = \scriptstyle\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , usted obtiene

ρ (t) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 - porque (2 Ω t) & - i pecado (2 Ω t) \\ i pecado (2 Ω t) & 1 + porque (2 Ω t) \end{matrix}),

$\rho(t) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 1 - \cos(2\Omega t) & -\mathrm i \sin(2\Omega t) \\ \mathrm i \sin(2\Omega t) & 1 + \cos(2\Omega t) \end{pmatrix} ,$ las poblaciones cambian en segundo orden.

Después de $\pi/2$ -pulso, el sistema está en el estado $\scriptstyle \frac 1 2 \begin{pmatrix} 1 & -\mathrm i \\ \mathrm i & 1 \end{pmatrix}$ . Veamos, por ejemplo, qué sucede si comenzamos en ese estado, $\rho(0) = \scriptstyle \frac 1 2 \begin{pmatrix} 1 & -\mathrm i \\ \mathrm i & 1 \end{pmatrix}$ :

ρ (t) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + pecado (2 Ω t) & - i porque (2 Ω t) \\ i porque (2 Ω t) & 1 - pecado (2 Ω t) \end{matrix}) .

$\rho(t) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 1+\sin(2\Omega t) & -\mathrm i \cos(2\Omega t) \\ \mathrm i \cos(2\Omega t) & 1-\sin(2\Omega t) \end{pmatrix} .$ Las poblaciones cambian en primer orden.

*Nota al margen: esto solo es cierto en la imagen de interacción. Sin la imagen de interacción, las poblaciones son $p_n(t) = \langle E_n(t) | \rho(t) | E_n(t) \rangle$ , dónde $|E_n(t)\rangle$ son los vectores propios, en general dependientes del tiempo, del sistema hamiltoniano).

Varias preguntas a su respuesta: 1. ¿Cómo define las matrices sigma para un sistema multinivel? 2. ¿Cómo sabes que K no es ya de segundo orden en la conducción? Este es, por ejemplo, el caso de una transición de cuadrupolo eléctrico, entonces, ¿no contradiría eso su derivación?
@domj33 1. Realmente no necesito hacerlo. Pero un acoplamiento dipolar de la transición entre los niveles n y m a un campo de radiación tendría $K \sim | n \rangle\!\langle m | + | m \rangle\!\langle n |$ . 2. Supongo que depende de cómo definamos conducir. En mi punto de vista abstracto, $K$ es la conducción. Lo que realmente muestro es que la contribución a $\dot p_n$ es de segundo orden en $K$ . Si tu lo dices $K$ es de segundo orden o superior en la conducción, $\dot p_n$ será de cuarto orden o superior. En cualquier caso, no será de primer orden.
+1 y gracias por tu respuesta! Ahora que lo veo escrito, incluso parece bastante obvio, simplemente no sabía cómo formular la noción en primer lugar. Una pregunta más: ¿crees que se puede eliminar la restricción de que la matriz de densidad tiene que ser diagonal inicialmente?
@Wolpertinger No se puede eliminar, edité mi respuesta para aclarar.
@Noiralef gracias. Una pregunta más sobre el estado inicial no diagonal: ¿y si consideramos un estado inicial no diagonal que es un estado estacionario del sistema? ¿Las poblaciones del estado estacionario tendrían términos lineales en el campo impulsor si Taylor se expandiera? ¿O podría revivir la declaración original de alguna forma? Pregunto esto por 2 razones: 1. Conozco bastantes ejemplos en los que el estado estacionario tiene esa propiedad y no es diagonal. 2. Noté que en el ejemplo que diste, la expansión del campo impulsor también es una expansión de tiempo corto, por lo que el límite opuesto sería interesante.
@Wolpertinger No estoy muy seguro de lo que quieres decir. Si tienes un estado estable, no cambia en absoluto. Entonces no tiene sentido hablar de cómo cambian las poblaciones ;)
@Noiralef sí, lo sé jaja. el estado estacionario seguirá teniendo una dependencia funcional de la conducción. la pregunta entonces sería si eso tiene términos lineales para las poblaciones. Esto es relevante, por ejemplo, en los cálculos de la respuesta óptica lineal.
@Wolpertinger Esta parece ser una pregunta bastante diferente ... pero no puedo pensar en una razón por la que no debería haber términos lineales
@Noiralef ¿Cuál es la diferencia con las oscilaciones de Rabi en la segunda parte de su explicación? Si tiene el hamiltoniano impulsor en la forma de frecuencia Rabi multiplicada por algunos operadores, el resultado no debería ser demasiado sorprendente, ¿no es así? La última parte con el $\pi/2$ el pulso es entonces solo la continuación de las oscilaciones de Rabi un cuarto de período después.

domj33 · Answer 2

En realidad, la pregunta no se ve afectada por el hecho de que el sistema es disipativo (excepto que la disipación es mucho más fuerte que la conducción, pero entonces la pregunta no tiene ningún sentido), por lo que no necesita el enfoque completo de la ecuación maestra, pero podría tratar con la dinámica hamiltoniana. .

Dicho esto, primero debe recordar cómo se derivó su ecuación maestra. La 'Biblia' en óptica cuántica es Cohen-Tannoudjji - Interacciones átomo-fotón, donde la derivación de la ecuación maestra óptica cuántica se describe en el Capítulo IV-B. Comienza presentando el hamiltoniano completo.

H = H_{a} + H_{r} + V,

$H = H_a + H_r + V ,$ donde las partes son el hamiltoniano atómico

H_{a}

$H_a$ , el hamiltoniano del campo de radiación

H_{r}

$H_r$ y la interacción hamiltoniana

V

$V$ entre ellos.

La ecuación de Liouville-von Neuman del sistema completo, caracterizada por un operador de densidad $\rho_{a+r}$ ,se da en la imagen de interacción por

\frac{\partial}{\partial t} {\tilde{ρ}}_{a + r} (t) = \frac{1}{i ℏ} [\tilde{V} (t), {\tilde{ρ}}_{a + r} (t)],

$\frac{\partial}{\partial t}\tilde\rho_{a+r}(t) = \frac{1}{\mathrm i \hbar} [\tilde V(t) ,\tilde\rho_{a+r}(t) ] ,$ donde ya tenemos las cantidades transformadas denotadas por

\tilde{}

$\tilde{}$ . A partir de esta ecuación, se deriva la ecuación principal tomando varias suposiciones y rastreando los grados de libertad que no le interesan, de modo que obtenga el operador de densidad de un subsistema únicamente. (Eso podría ser cualquiera

{\tilde{ρ}}_{a}

$\tilde\rho_{a}$ cuando trata el campo de radiación como un reservorio como en la emisión espontánea, por ejemplo; o

{\tilde{ρ}}_{r}

$\tilde\rho_{r}$ en el caso de los experimentos micromaser del grupo Haroche.)

En cualquier caso, siempre se empieza con el modelo exacto completo . Formalmente, lo resuelves integrando la última ecuación, donde obtienes

ρ_{a + r} (t) = ρ_{a + r} (0) + \frac{1}{i ℏ} \int_{0}^{t} d t^{'} [\tilde{V} (t^{'}), {\tilde{ρ}}_{a + r} (t^{'})] .

$\rho_{a+r}(t) = \rho_{a+r}(0) + \frac{1}{\mathrm i \hbar} \int_0^t \mathrm d t' [\tilde V(t') , \tilde \rho_{a+r}(t') ].$ Sustituyendo esto de nuevo en la ecuación de Liouville-von Neumann da

\frac{\partial}{\partial t} {\tilde{ρ}}_{a + r} (t) = \frac{1}{i ℏ} [\tilde{V} (t), {\tilde{ρ}}_{a + r} (0)] - \frac{1}{ℏ^{2}} \int_{0}^{t} d t^{'} [\tilde{V} (t), [\tilde{V} (t^{'}), {\tilde{ρ}}_{a + r} (t^{'})]] .

$\frac{\partial}{\partial t}\tilde\rho_{a+r}(t) = \frac{1}{\mathrm i \hbar} [\tilde V(t) ,\tilde\rho_{a+r}(0) ] - \frac{1}{\hbar^2} \int_0^t \mathrm d t' [\tilde V(t) ,[\tilde V(t') ,\tilde \rho_{a+r}(t') ]].$ esta ecuación sigue siendo exacta. Integrando de nuevo, obtenemos una ecuación de segundo orden,

ρ_{a + r} (t) = ρ_{a + r} (0) + \frac{1}{i ℏ} \int_{0}^{t} d t^{'} [\tilde{V} (t^{'}), {\tilde{ρ}}_{a + r} (t^{'})] - \frac{1}{ℏ^{2}} \int_{0}^{t} d t^{'} \int_{0}^{t^{'}} d t^{″} [\tilde{V} (t^{'}), [\tilde{V} (t^{″}), {\tilde{ρ}}_{a + r} (t^{″})]] .

$\rho_{a+r}(t) = \rho_{a+r}(0) + \frac{1}{\mathrm i \hbar} \int_0^t \mathrm d t' [\tilde V(t') , \tilde \rho_{a+r}(t') ] - \frac{1}{\hbar^2} \int_0^t \mathrm d t' \int_0^{t'} \mathrm d t'' [\tilde V(t') ,[\tilde V(t'') ,\tilde \rho_{a+r}(t'') ]].$

Los últimos pasos que he hecho aquí podrían repetirse más. El siguiente paso daría un conmutador de tercer orden, etc. Si miras de cerca aquí, nos recuerda la derivación de la serie de Dyson, o la derivación de las amplitudes de transición en la teoría de la perturbación dependiente del tiempo. No nos recuerda, son los mismos términos que están apareciendo en los tres enfoques.

En la derivación de la ecuación maestra, el siguiente paso es la aproximación de Born , donde se ignoran los acoplamientos de orden superior al segundo (que están implícitamente contenidos en $\tilde \rho_{a+r}(t')$ y $\tilde \rho_{a+r}(t'')$ ) por reemplazo $\rho_{a+r}(t')$ y $\tilde \rho_{a+r}(t'')$ por $\tilde \rho_{a+r}(0)$ , de modo que obtengamos

ρ_{a + r} (t) = ρ_{a + r} (0) + \frac{1}{i ℏ} \int_{0}^{t} d t^{'} [\tilde{V} (t^{'}), {\tilde{ρ}}_{a + r} (0)] - \frac{1}{ℏ^{2}} \int_{0}^{t} d t^{'} \int_{0}^{t^{'}} d t^{″} [\tilde{V} (t^{'}), [\tilde{V} (t^{″}), {\tilde{ρ}}_{a + r} (0)]] .

$\rho_{a+r}(t) = \rho_{a+r}(0) + \frac{1}{\mathrm i \hbar} \int_0^t \mathrm d t' [\tilde V(t') , \tilde \rho_{a+r}(0) ] - \frac{1}{\hbar^2} \int_0^t \mathrm d t' \int_0^{t'} \mathrm d t'' [\tilde V(t') ,[\tilde V(t'') ,\tilde \rho_{a+r}(0) ]].$ Aquí desechamos los términos de interacción de orden superior que antes estaban contenidos implícitamente.

Los próximos pasos serían ahora el seguimiento de las variables del baño, la aproximación de Markov, etc. Pero para el punto que estoy tratando de hacer, es importante darse cuenta de que tomar la aproximación de Born de esta manera es equivalente a una perturbación de segundo orden. teoría, véase también, por ejemplo, las ecuaciones maestras de Markov y la regla de oro de Fermi, Alicki, R. Int J Theor Phys (1977) 16: 351 . Por lo tanto, continúo mi razonamiento con los términos de la teoría de perturbaciones.

En la teoría de perturbaciones, la proporcionalidad del campo impulsor entra a través del orden en los términos. Por lo general, se considera el primer orden donde tiene términos del formulario (en la imagen de interacción, por supuesto) $\langle \psi_f | V | \psi_i \rangle$ , dónde $| \psi_i \rangle$ y $| \psi_f \rangle$ son el estado inicial y final, y $V$ es el potencial de interacción, que presumiblemente es proporcional a su campo de conducción.

En segundo orden, tienes términos de la forma $\sum_k \langle \psi_f | V | \psi_k \rangle \langle \psi_k | V | \psi_i \rangle$ . donde la suma es sobre todos los estados intermedios $| \psi_k \rangle$ . Así que estos son los términos de interacción donde la transición sería de segundo orden en el campo impulsor.

Llegando a su pregunta principal: si desea que las poblaciones cambien solo en segundo orden, debe hacer que desaparezca el primer orden. Es decir, elige una interacción y los estados tales que los elementos de la matriz de primer orden son cero. Un ejemplo de esto es un campo de radiación dipolar que interactúa en una transición de cuadrupolo eléctrico.

Un ejemplo es la transición SD en átomos similares al hidrógeno.

Como desea saber cómo encontrar las condiciones y cómo probar esto en general, debe seguir los pasos para derivar su ecuación maestra de la teoría de la perturbación , donde luego identifica las simetrías de los operadores atómicos en relación con su interacción hamiltoniana. Pero esto realmente depende de las especificaciones del sistema que consideres.

Un ejemplo de este enfoque que dio una búsqueda rápida es arXiv:1608.04163

No veo cómo la primera parte de su respuesta es relevante para la pregunta. Con respecto a "siga los pasos para derivar su ecuación maestra de la teoría de la perturbación": ¿quiere decir aplicar la teoría de la perturbación a la ecuación maestra? De lo contrario, esto no tiene sentido alguno.
Con respecto a "Pero esto realmente depende de los detalles del sistema que considere". . Posible, incluso probable ya que habrá alguna restricción en el sistema. Sin embargo, creo que esta es una propiedad bastante genérica dado que a menudo se asume sin vacilación en la literatura.
¿Cómo obtienes tu ecuación maestra? Se ha derivado de algún modelo de nivel superior. Para la óptica cuántica, este suele ser el hamiltoniano completo de la interacción átomo-fotón. Si tienes acceso a Cohen-Tannoudji -'Interacciones átomo-fotón', consulta el Capítulo IV. Pero veo que estás señalando que, a primera vista, mi respuesta no está relacionada con tu pregunta. Intento mejorar eso en una edición.
He visto una y otra vez que los requisitos difíciles se asumen sin vacilación en la literatura porque la gente no quiere pensar en ello. O incluso no se dio cuenta de por qué y bajo qué circunstancias se les permite hacer ciertas suposiciones. Por lo tanto, no contaría con el argumento 'todo el mundo lo hace, por lo tanto, debe ser cierto'
1. * Por lo tanto, no contaría con el argumento 'todo el mundo lo hace, por lo tanto debe ser cierto' * -> por eso pregunto en qué circunstancias se aplica en esta pregunta...
2. ¿Cómo obtienes tu ecuación maestra? -> No creo que esto sea relevante aquí en absoluto. La derivación de la ecuación maestra de Lindblad no implica una expansión de orden. Espero su edición, sin embargo, mientras tanto, daré -1 a la respuesta.
Bueno, puedes imaginarte que no es muy motivador obtener un -1 por brindar ayuda a alguien mientras toma un descanso para cenar. Sin embargo, como afirma que la derivación no implica ninguna expansión, tal vez debería echar un vistazo a Cohen-Tannoudji, Carmichael o Gardiner/Zoller, o proporcionarme la fuente de esta derivación que menciona. Realmente no puedo proporcionar la derivación completa de la ecuación maestra aquí.

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