¿Por qué las ecuaciones de onda producen relaciones de dispersión de uno o pocos valores? ¿Por qué no hay un continuo de posibles ωω\omega para uno |k||k||\boldsymbol{k}|?

Esta pregunta es más o menos la misma que ¿ Qué vincula las ondas electromagnéticas de alta frecuencia con las de longitud de onda corta y viceversa? pero mucho más técnico, y buscando una respuesta más técnica que cualquiera de las proporcionadas. Esta pregunta puede sangrar en el territorio del intercambio de pilas matemáticas. Puede migrar si otros piensan que eso sería lo mejor.

Se sabe que las ecuaciones de onda permiten soluciones de la forma

F ( X , t ) = mi i ( k ⋅ X − ω t )

Sin embargo, esta función solo resuelve la ecuación de onda si | k | y ω están relacionados por una función específica

ω = D ( | k | )

Para ondas simples tenemos que D ( | k | ) es lineal con D ( | k | ) = v | k | . v puede interpretarse como la velocidad de la onda.

Para medios más complejos o ecuaciones de onda, la función de dispersión D ( | k | ) puede ser no lineal, en cuyo caso decimos que el medio exhibe dispersión.

Sin embargo, en cualquier caso, vemos que D ( | k | ) es una función de un solo valor de | k | . Si estoy siendo imaginativo, podría imaginar un medio que permita múltiples valores de ω por un solo valor de | k | .

De hecho, creo que tales medios son posibles. Ejemplos que me vienen a la mente son

  • diferentes modos de fonón admitidos en materiales de estado sólido
  • diferentes modos transversales admitidos en fibras ópticas multimodo (aunque no estoy seguro de si esto cuenta porque creo que si considera la magnitud total de | k | = | k ⊥ | 2 + k | | 2 ¿la relación de dispersión sigue siendo de un solo valor?)

Entonces, en el mejor de los casos, podemos tener una pequeña cantidad de frecuencias temporales discretas para una frecuencia espacial dada.

Mis preguntas son las siguientes:

  • ¿Bajo qué condiciones genéricas encontramos múltiples frecuencias espaciales para una única frecuencia temporal?
  • Proporcione más ejemplos de relaciones de dispersión de valores múltiples
  • ¿Hay algún ejemplo de ecuaciones de onda o medios que admitan un continuo de frecuencias temporales? ω por un solo valor de | k |
  • Y si no a la pregunta anterior, ¿por qué es esto imposible?
Dejar k ∈ R d (en la vida real, d = 3 ). Cada una de estas relaciones de dispersión especifica un lugar en R d + 1 para ( ω , k ). Su pregunta es efectivamente por qué obtenemos un d -superficie dimensional, en lugar de una región de distinto de cero ( d + 1 ) -volumen dimensional.

Respuestas (1)

Ecuación de onda
Creo que la pregunta está vagamente planteada, ya que la respuesta depende de lo que definamos como ondas y ecuaciones de onda . En la pregunta citada en el OP, muchas respuestas simplemente asumieron que las ondas significan ondas electromagnéticas y las ecuaciones de ondas significan

∂ t 2 tu ( X , t ) = C 2 ∇ 2 tu ( X , t ) .
La relación de dispersión en este caso es obvia:
ω 2 − C 2 k 2 = 0.

Ecuaciones lineales
Se podría hablar de ondas en un sentido más general, como soluciones a cualquier ecuación lineal, resolubles a través de la transformada de Fourier, es decir, que tienen soluciones

tu ( X , t ) = ∫ d k ∫ d ω tu ~ ( k , ω ) mi i ( k X − ω t ) ,
en cuyo caso cualquier operador lineal sería suficiente
F ( ∂ t , ∇ ) tu ( X , t ) = 0.
Al elegir la función F ( ∂ t , ∇ ) se podía conseguir casi cualquier cosa. P.ej,
∂ t 4 tu ( X , t ) = a ∇ 8 tu ( X , t ) + ∇ 4 tu ( X , t ) + C tu ( X , t )
tiene varias ramas de dispersión.

Entre las ecuaciones más básicas con varias ramas, se podrían citar la ecuación de Dirac y la ecuación de Klein-Gordon (la última es simplemente la ecuación de onda con un término constante agregado).

Ecuaciones no lineales
Se podría ir aún más lejos y considerar ecuaciones no lineales que permitan ejecutar soluciones del tipo

F ( k X − ω t ) ,
como, por ejemplo, la ecuación de Korteveg-de Vries o la ecuación de Sine-Gordon .

¿Cuáles de estas ecuaciones suceden?
En los cursos universitarios de física uno típicamente trata con teorías lineales, porque la física fundamental es descrita (¿principalmente?) por teorías lineales. Sin embargo, en cursos más específicos de dominio, uno encuentra rápidamente ecuaciones que tienen derivadas más altas o términos no lineales. Los dominios para buscar ecuaciones más complejas son:

  • hidrodinámica
  • teoría de la elasticidad
  • electrodinámica de medios no lineales
  • teoría no lineal (que se ocupa más específicamente de las ecuaciones que de su contenido físico).

Observaciones

  • Ecuaciones de primer orden También se pueden tener ecuaciones de onda de primer orden, por ejemplo,

    ∂ t tu ( X , t ) ± v ∂ tu ( X , t ) = 0 ,
    que dan soluciones de ondas viajeras reales de tipo F ( X − v t ) . En más dimensiones:
    ∂ t tu ( X , t ) − v ⋅ ∇ tu ( X , t ) = 0.
    El matiz de estas ecuaciones es que tienen una dirección preferida para la propagación de la onda (incluso en 1D tenemos una onda que se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda, según el signo). Esta es la razón por la que las teorías físicas que son simétricas en el espacio y/o el tiempo suelen tener segundas (o generalmente incluso) derivadas parciales.
    Un ejemplo de una ecuación con un término de primer orden de este tipo es la ecuación de Navier-Stokes , aunque no es lineal (pero se puede linealizar para dar soluciones de onda simples).

  • Ondas frente a ondas en movimiento Cuando se trata de una forma general de ecuación F ( ∂ t , ∇ ) tu ( X , t ) = 0 , hay que tener en cuenta que, aunque es solucionable por transformada de Fourier, sus soluciones no son necesariamente ondas de la forma F ( ω t − k X ) . Requerir que las soluciones tengan esta forma restringiría el tipo de operadores diferenciales que se pueden usar, por ejemplo, excluyendo la ecuación de difusión.

  • Ecuación de Schrödinger Por otro lado, la ecuación de Schrödinger (que puede verse como una ecuación de difusión con coeficientes complejos) ciertamente se considera una ecuación de onda y sus soluciones a menudo se denominan ondas de materia, aunque no son ondas en movimiento en el sentido restringido . mencionado anteriormente.

  • Límite de banda ancha/plana en algunos problemas de física de estado sólido, se considera un límite de banda ancha en el que se supone que todos los electrones tienen la misma función de onda (o número de onda), aunque posiblemente tengan diferentes energías; esto puede interpretarse como un continuo de frecuencias. correspondiente a la misma longitud de onda. Lo opuesto y también utilizado es el límite de banda plana , donde se supone que todos los números de onda corresponden a la misma energía/frecuencia.

Gracias por estas aclaraciones. Me centraré en el caso lineal para que las ondas planas no interactúen. Esto parece una buena definición de "ondas". Entonces, si tenemos la ecuación diferencial lineal F ( ∂ t 2 , ∇ 2 ) tu ( X , t ) = 0 dónde F ( t , X ) es una orden- norte polinomio, esto da lugar a la relación de dispersión F ( ω 2 , | k | 2 ) = 0 . F ( ω 2 , | k | 2 ) es entonces alguna superficie en ω 2 , | k | 2 espacio, y donde esta superficie se cruza con 0 define las relaciones de dispersión? ¿Es todo esto correcto?
También tengo razón en que ∂ t y ∇ debe aparecer siempre al cuadrado en la ecuación diferencial que estamos analizando?
Si hay factores pares e impares de ∂ t y/o ∇ entonces factores de i aparecería en la ecuación diferencial. Supongo que esto es una indicación de que las ondas planas decaen en el tiempo/espacio. Si las rechazamos como ondas, entonces sí, probablemente necesitamos todos los factores pares.
@ Jagerber48 Amplié la respuesta para responder a sus preguntas anteriores y agregar más información. Espero que ayude.
¿Por qué las ecuaciones de onda producen relaciones de dispersión de uno o pocos valores? ¿Por qué no hay un continuo de posibles ωω\omega para uno |k||k||\boldsymbol{k}|?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v