Nivel de Fermi y potencial químico en semiconductores dopados y puros

Recientemente estuve estudiando sobre la teoría de bandas de semiconductores y tengo algunas preguntas.

Encontré dos definiciones de nivel de Fermi

1 ) El estado cuántico que tiene una probabilidad de ocupación de 0.5

(de mi libro)

2 ) El nivel de Fermi de un cuerpo es el trabajo termodinámico requerido para agregar un electrón al cuerpo.

(de Wikipedia )

En todas partes se habla del nivel de Fermi de un semiconductor, se hace sobre la base del 1 st definición y la distribución de probabilidad de Fermi-Dirac.

Mi pregunta es si el nivel de Fermi de un semiconductor se puede definir en términos de 2 segunda definición ( también conocida como el potencial químico del sistema ) o falla esta definición cuando se habla de semiconductores porque en los semiconductores (tanto dopados como puros) el nivel de Fermi se encuentra en la banda prohibida y eso me confunde porque ¿cómo puede un electrón en el estado ocupado más alto en la banda de valencia (suponga que en 0 K) tienen energía correspondiente a algún lugar de la banda prohibida.

Mi segunda duda es que en un semiconductor extrínseco (tanto de tipo p como de tipo n), el nivel de Fermi extrínseco también se define en términos de la primera definición en todas partes.

( Tenga en cuenta que estoy asumiendo en 0 k )

Pero si consideramos la 2 nd definición usando el potencial químico, ¿no debería el nivel de Fermi (en un tipo p dopado) elevarse por encima del nivel de Fermi intrínseco en lugar de estar en algún lugar en el medio del aceptor y la banda de valencia? Porque en el caso de los semiconductores dopados, sin importar el tipo p o el tipo n, estamos agregando átomos dopantes al sistema que ahora tiene más átomos y, por lo tanto, más electrones además de los electrones en la banda de valencia del semiconductor intrínseco, por lo que estamos agregando más energía al sistema en el proceso de agregar esos electrones adicionales del dopante y debería cambiar el nivel de Fermi por encima del medio (nivel intrínseco).

Pero no sucede ya que el nivel de Fermi de un semiconductor dopado de tipo p se encuentra muy por debajo del nivel intrínseco cerca de la banda de valencia ( en algún lugar en el medio del aceptor y la banda de valencia, para ser precisos ), por lo que es seguro que estoy Echando de menos algo.

¿Por qué nadie quiere hablar en términos de potencial químico?

Encontré algunas otras publicaciones, algunas de las cuales son this y this . También los revisé, pero creo que nadie realmente aborda esto.

Intente responder en términos de potencial químico en lugar de redefinir el nivel de Fermi en términos de la distribución de probabilidad de Fermi-Dirac. Eso será muy útil para mí.

Intenté mucho pero no pude obtener lo que está pasando. Por favor, ayúdame a entender esto.

Muchas gracias :)

Respuestas (2)

Tiene razón en que este puede ser un punto complicado si hay una brecha, y creo que varias definiciones comunes fallan en este caso. Se vuelve aún más complicado a temperatura cero.

Permítanme dar una definición alternativa: el potencial químico (nivel de Fermi) m es una constante de normalización que hace verdadera la siguiente ecuación:

norte = ∫ d mi gramo ( mi ) 1 mi mi − m k B T + 1 ,

dónde norte es el número de partículas en su sistema y gramo ( mi ) es la densidad de estados.

Si el sistema tiene un desnivel, a temperatura cero, m no necesita ser definido de manera única. A temperatura cero

norte = ∫ d mi gramo ( mi ) H ( m − mi ) ,

dónde H es la función de paso.

Desde gramo ( mi ) = 0 para mi en la brecha, no importa el valor H tiene en el hueco. Así que si m cae en algún lugar de la brecha, también podría caer en cualquier otro lugar de la brecha.

¡Tenga en cuenta que esta peculiaridad solo existe a temperatura cero! A cualquier otra temperatura, la definición le dará un bien definido m . Entonces, no me obsesionaría con el caso de la temperatura cero. Tenga en cuenta que, en casos simples, la definición anterior coincidirá con las que usted enumeró.

+1 Muchas gracias por la respuesta. ¿Podría ampliar un poco si es posible definir el potencial químico (nivel de Fermi) en términos de la energía del electrón en el estado cuántico ocupado más alto (a cualquier otra temperatura) ? Quiero decir, ¿el nivel de Fermi está realmente relacionado con la energía? del electrón de alguna manera que no sea la probabilidad (a cualquier temperatura que desee)? ¿Cómo un electrón en la banda de valencia (HOMO) tiene una energía que corresponde a un punto en la banda prohibida?
Es un poco difícil decir cuál es el estado ocupado más alto a temperatura distinta de cero; si la temperatura es distinta de cero, entonces cualquier estado debe tener alguna probabilidad de estar ocupado, con probabilidad ( mi mi − m k B T + 1 ) − 1 . Dado que los niveles son efectivamente continuos en muchos sistemas de semiconductores (a diferencia de los átomos o las moléculas), es difícil trazar un límite para decir qué niveles están desocupados. Entonces, no estoy seguro de cómo interpretar su primera pregunta.
Para su segunda pregunta, sí, creo que el potencial químico sigue siendo la energía necesaria para agregar otro electrón al sistema ( m = d mi d norte ). Eso es bastante fácil de mostrar matemáticamente con las estadísticas de Maxwell-Boltzmann (creo que lo publiqué antes en Stack Exchange). También debería ser factible para las estadísticas de Fermi-Dirac, pero no he hecho los cálculos antes.
Para su tercera pregunta, ¿está preguntando cómo puede ser que el potencial químico esté en la brecha si agregaría un electrón a un estado no completamente ocupado debajo de la brecha?
Ok, creo que entiendo la pregunta. Permítanme comenzar con una pregunta: si el potencial químico está en la banda prohibida, ¿por qué dice que el nuevo electrón tiene que ir en la banda de valencia? Si el sistema está a una temperatura distinta de cero, el electrón agregado termina "en todas partes", en un sentido promedio: la probabilidad de que cualquier estado esté ocupado aumenta; incluyendo estados en la banda de valencia y conducción. El potencial químico es una especie de promedio ponderado de todos los estados posibles a los que se podría agregar el electrón, y ese promedio puede caer en la brecha, incluso si el electrón no puede.

Para los semiconductores ordinarios no hay mucho problema. El verdadero problema ocurre con los compuestos donde la correlación es importante.

Por ejemplo, en los átomos libres hay una diferencia entre agregar un electrón (la afinidad electrónica) y quitar un electrón (la energía de ionización). Lo mismo con las moléculas: el HOMO (orbital molecular ocupado más alto) y el LUMO (orbital molecular desocupado más bajo). Desempeña un papel en óxidos correlacionados como NiO.

En semiconductores como el silicio realmente no importa. Siempre habrá estados superficiales que estén parcialmente ocupados. Estados que están en el espacio de la estructura de la banda del bulto (enlaces colgantes, etc.) que fijarán el nivel de Fermi.

Y aunque el nivel de Fermi solo se define a 0 K, en la terminología de semiconductores también se usa a temperaturas más altas, donde el término correcto sería potencial químico. Entonces, mientras que el dopaje pondrá el nivel de Fermi de baja temperatura en el borde de la banda, elevar la temperatura lo suficiente lo colocará cerca del medio de la brecha, cuando la concentración de huecos y electrones generados térmicamente es comparable.

+1 Muchas gracias por la respuesta. Entonces, ¿qué significa el nivel de Fermi aquí? ¿Podemos entenderlo pensándolo como potencial químico en un semiconductor (tanto puro como dopado) en lugar de la noción de ocupación de probabilidad?
@ user8718165 Me expandí un poco. No estoy seguro si responde la pregunta.
muchas gracias por responder a mi pregunta. Ambas respuestas me han ayudado mucho.
Nivel de Fermi y potencial químico en semiconductores dopados y puros
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