¿Por qué la sección transversal de dispersión es igual a la suma de todas las secciones transversales diferenciales? incluyendo el ángulo de incidencia?

Question

¿Por qué la sección transversal de dispersión es igual a la suma de todas las secciones transversales diferenciales? incluyendo el ángulo de incidencia?

Física
dispersión
electromagnetismo
mecanica clasica
sección transversal de dispersión

tian

Según la ley de Beer Lambert, la intensidad de la luz que atraviesa un medio homogéneo disminuye a un ritmo proporcional a la intensidad incidente; es decir

\frac{d I (s)}{d s} = - I (s) σ,

$\frac{dI(s)}{ds} = -I(s)\sigma\, ,$

dónde $s$ es el parámetro para la longitud del camino tomado por la luz, y $\sigma$ es el coeficiente de extinción de volumen. Ahora, suponiendo que la extinción ocurre puramente por dispersión, además, suponga que solo tienen lugar eventos de dispersión únicos . El método habitual para determinar $\sigma$ es sumar las secciones transversales de dispersión diferencial $d\sigma$ ,

σ = \int d σ = \oint \frac{d σ}{d Ω} d Ω = \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π} pecado θ d θ \frac{d σ}{d Ω} (ϕ, θ),

$\sigma = \int d\sigma = \oint\frac{d\sigma}{d\Omega}\, d\Omega = \int_0^{2\pi}\, d\phi\, \int_0^\pi \sin\theta\, d\theta \frac{d\sigma}{d\Omega}(\phi,\theta)\, ,$

donde se tomó la última igualdad de wiki ( https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_section_(physics) ).

Mi pregunta es, suponiendo que la luz incidente viene desde un ángulo de $\theta=\pi$ , ¿ por qué incluimos $\theta=0$ en la integral? ¿No es cierto que cualquier luz que se disperse en el $\theta=0$ ángulo contribuye a la intensidad $I(s)$ ? En cambio, ¿no debería la ecuación de la sección transversal de dispersión ser la que se muestra a continuación?

σ = \int_{0}^{2 π} d ϕ \underset{Θ \to 0}{límite} \int_{Θ}^{π} pecado θ \frac{d σ}{d Ω} (ϕ, θ)

$\sigma = \int^{2\pi}_0d\phi\, \lim_{\Theta\rightarrow 0} \int_\Theta^\pi\sin\theta\, \frac{d\sigma}{d\Omega}(\phi, \theta)$

Respuestas (2)

¿Por qué la sección transversal de dispersión es igual a la suma de todas las secciones transversales diferenciales? incluyendo el ángulo de incidencia?

ProfRob · Answer 1

Pero nada de la radiación se dispersa exactamente en un ángulo particular. Siempre tiene que integrarse en un rango de ángulo sólido. Por lo tanto, ninguna de las radiaciones dispersadas contribuye precisamente a $I(s)$ .

Por supuesto, puede modificar la ley de Beer-Lambert para agregar un término fuente a la RHS de su ecuación para tener en cuenta la contribución de la luz dispersada a la intensidad específica. Algo como

\frac{d I (s)}{d s} = - σ I + σ j,

$\frac{dI(s)}{ds} = -\sigma I + \sigma J,$ dónde

J

$J$ es el valor medio de

I

$I$ sobre todos los ángulos sólidos. Debe hacer esto cuando la profundidad óptica de la dispersión se vuelva significativa y se convierta en una ecuación más difícil de resolver.

Ruslán · Answer 2

Considere una onda plana que se propaga dentro de un medio homogéneo. Su distribución de direcciones será

σ_{I} (\vec{ω}) = I d (\vec{ω} - {\vec{ω}}_{0}),

$\sigma_I(\vec\omega)=I \delta(\vec\omega-\vec\omega_0),$

dónde $\vec\omega_0$ es la dirección de su vector de onda, y $\delta$ es la distribución delta de Dirac . Cualquier dispersión individual en un centro de dispersión $\vec r$ dará como resultado una onda saliente, que no puede tener un número finito de amplitud finita $^\dagger$ singularidades tipo delta, porque el centro de dispersión en sí mismo es finito, y debido a este tamaño finito, cualquier paquete de ondas pronunciadas salientes divergirá debido a la difracción.

Esto significa que la integral de esta onda saliente sobre cualquier ángulo sólido $\varepsilon$ tendrá el límite de $0$ como $\varepsilon\to0$ . Por otro lado, integrando la onda entrante alrededor $\vec\omega_0$ producirá un límite distinto de cero a medida que el dominio de integración se reduce a cero (debido a las propiedades de la distribución delta de Dirac). Como su última ecuación solo contiene la onda anterior, pero no la última, esta ecuación sería equivalente a la primera.

Esto seguirá siendo cierto cuando se tengan en cuenta múltiples órdenes de dispersión. El único caso en el que este análisis puede fallar es cuando el medio está organizado: por ejemplo, cuando es un cristal o un cuasicristal. En este caso, la interferencia entre campos dispersos (de todos los órdenes de dispersión) de dispersores individuales dará como resultado una onda saliente con picos tipo delta en la distribución de direcciones. Pero en este caso, la ley de Beer-Lambert será inaplicable de todos modos: $\sigma$ puede ser finito mientras que la extinción debido a la dispersión es cero.

$^\dagger$ Por amplitud de una singularidad tipo delta $A\delta(x)$ me refiero a su factor $A$ .

Gracias por la respuesta, solo por curiosidad, ¿había alguna literatura a la que se refería cuando escribió esta respuesta? Me encantaría leerlo
@Tian, lamentablemente, no tengo ninguna literatura en particular para recomendar (me encantaría tener algo específico para leer yo mismo :)).

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