¿Por qué la relación energía-momento tuvo que esperar hasta 1928 para establecerse?

No es que haya tenido que esperar a "establecerse", se obtiene a partir de lo conocido por el álgebra trivial, sino que ha tenido que esperar una razón para escribirlo así. En los primeros años de la relatividad era prominente el concepto de "masa electromagnética" del electrón, que sugería que dicha masa es dependiente de la velocidad. Estaba en desacuerdo con el enfoque cinemático de Einstein en relatividad especial, pero lo reflejó, no obstante, en lo que se denominó "masa relativista".$m$. Por lo tanto, era más natural relacionar la energía total con esa masa en lugar de con el resto de la masa.$m_0$, que hizo una fórmula más simple$E_{total}=mc^2$, consulte ¿Por qué la relación masa-energía de Einstein suele escribirse como$E=mc^2$, y no$\Delta E=\Delta m c^2$?

La noción de impulso relativista$p=\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$fue introducido por Planck en 1906, pero es natural en el contexto del espacio-tiempo (4 vectores) de Minkowski, que Einstein desaprobó durante mucho tiempo por considerarlo demasiado extravagante. Consulte ¿Cuál fue la relación entre Einstein y Minkowski? Aparentemente, cambió de opinión alrededor de 1921, como se refleja en Stafford Little Lectures. Por cierto, la "masa relativista" no encaja bien con los 4 vectores (no es invariante de Lorentz), consulte ¿ Cuándo y por qué se volvió obsoleto el concepto de masa relativista? , por lo que se volvió razonable relacionar la energía total con la masa en reposo y el momento, como hizo Dirac. Einstein solo rechazó la "masa relativista" explícitamente en una carta de 1948 a Barnett, donde también respaldó la forma de Dirac de la relación momento-energía. Aquí es deAdler's ¿La masa realmente depende de la velocidad, papá? :

La visión del mundo electromagnético que ocupó gran parte del primer cuarto de este siglo ha sido extensa y elegantemente discutida en otra parte. La idea general era construir un modelo electromagnético del electrón extendido, en oposición al punto. Las propiedades derivadas de esa manera se asumió que eran extensibles a otros cuerpos además del electrón. Un resultado de este trabajo fue predecir una masa dependiente de la velocidad... La masa relativista de Einstein tuvo su origen en la cinética de su teoría especial y no en la estructura de la partícula. En De hecho, observa que "con una definición diferente de fuerza y ​​aceleración deberíamos obtener naturalmente otros valores para las masas (es decir, masas longitudinales y transversales)".

Cualesquiera que fueran las primeras opiniones precisas de Einstein sobre el tema, su opinión en la vida posterior parece clara. En una carta de 1948 a Lincoln Barnett, escribió: "No es bueno introducir el concepto de la masa$M=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$de un cuerpo para el que no se puede dar una definición clara. Es mejor no introducir otra masa que 'la masa restante'$m$. en lugar de introducir$M$, es mejor mencionar la expresión para la cantidad de movimiento y la energía de un cuerpo en movimiento". La pregunta que surge naturalmente es qué motivó a Einstein a esta nueva visión dado su uso anterior del concepto. La respuesta, creo, es que por al menos en 1922 había adoptado el enfoque de espacio-tiempo (cuatro vectores) de Minkowski de 1908 para la relatividad especial .

En realidad, no fue Dirac quien primero encontró esa relación. Planck ya lo utilizó en 1906 al derivar las ecuaciones de movimiento hamiltonianas.

Planck: El principio de la relatividad y las ecuaciones fundamentales de la mecánica (1906).

Primero dio la función lagrangiana.

$$(1)\quad L={\dot {x}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}+{\dot {y}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {y}}}}+{\dot {z}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {z}}}}-H={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}+const.$$

entonces impulso

$$(2)\quad \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\varrho ^{2}$$

dónde

$$\xi ={\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {m{\dot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}},\ etc.$$

Obtuvo la relación energía-momento combinando (1) y (2):

$$L=mc^{2}{\sqrt {1+{\frac {\varrho ^{2}}{m^{2}c^{2}}}}}+const$$

Poniendo la constante a cero, la relación anterior se puede escribir como:

$$L^{2}=m^{2}c^{4}+\varrho^{2}c^{2}$$