("¿Cómo obtuvo Huygens la ley de conservación de la energía cinética?")

Huygens en 'El movimiento de los cuerpos en colisión' ( traducción al inglés ) aportó ingeniosos razonamientos, matemáticas y experimentos mentales basados ​​en suposiciones físicas. Pero este trabajo trataba sobre las colisiones de un tipo particular de cuerpo, supuesto e idealizado a cierta distancia de cualquier objeto físico realizable, aunque el resultado parece una versión elástica de una bola de billar. No hay ningún concepto allí tan amplio como "la ley de conservación de la energía cinética".

No es de extrañar que no se considerara que la obra de Huygens establecía tal concepto o ley, como se desprende de la posterior controversia de vis-viva . El trabajo requerido para resolver tales asuntos fue prolongado e involucró evidencia experimental (física) así como creatividad matemática y controversia.

Una ilustración que muestra que el asunto aún estaba en duda 25 años después de la muerte de Huygens, y una de las etapas en el largo y arduo proceso de reunir la evidencia física necesaria, se encuentra en el libro de Willem Gravesande Physices elementa mathematica, experimentis confirmata (1720 ) . -21), (traducción al inglés publicada en 1747 ( Elementos matemáticos de la filosofía natural confirmados por experimentos)). Especialmente notable es el Capítulo III, páginas 183-202, donde Gravesande describe sus comparaciones de las 'fuerzas' (ahora diríamos - energías cinéticas) necesarias para que un objeto pesado en movimiento haga impresiones iguales en una arcilla impresionable, perdiendo todo de su movimiento mientras lo hace. Gravesande encontró, entre otras cosas, que para impresiones iguales, la medida constante de esta 'fuerza' era proporcional a la masa y al cuadrado de la velocidad (y no a la primera potencia de la velocidad).

Pero se necesitó mucho más que eso, por supuesto, para establecer el concepto de energía cinética y una ley de su conservación.

Las "matemáticas" eran una combinación de experimentos con cuerpos que caían, experimentos mentales imaginativos, sentido común y razonamiento geométrico. Parte de esto se explica en el libro. Galileo descubrió que$v^2$en el momento del impacto es proporcional a$h$. Torricelli argumentó que cuando dos cuerpos están unidos y se mueven libremente, pero solo en un plano vertical, entonces su centro de gravedad mantiene la misma altura. De lo contrario, la levitación sería posible (y, como en la sátira posterior de Raspe, el barón Munchausen podría sacarse a sí mismo y a su caballo del pantano por su coleta).

Huygens conocía los artilugios de Galileo de Discourses on Two New Sciences que desviaban los cuerpos que caían en movimiento horizontal. Por el contrario, uno puede desviar el movimiento horizontal hacia el vertical y ver qué tan alto se elevaría el cuerpo. Si admitimos " la gravedad como la fuerza que, en las colisiones, les dio a los cuerpos sus velocidades iniciales y absorbió sus velocidades de retroceso ", entonces$v^2$, o la suma de$v^2$veces sus magnitudes (Huygens significa pesos) en caso de cuerpos múltiples, deben permanecer iguales. De lo contrario, como se dio cuenta Huygens, podemos obtener un movimiento perpetuo secuenciando las desviaciones hacia arriba y hacia abajo. " Es un axioma muy cierto en mecánica que, cuando los cuerpos se mueven debido a su gravedad, su centro de gravedad común no puede elevarse ". Esta fue su generalización de la observación de Torricelli. Sobre el futuro destino de$mv^2$ver ¿Cómo averiguó la gente la fórmula del trabajo mecánico y la relacionó con la energía? y ¿ Cuál fue la controversia vis viva, incluidos sus aspectos filosóficos?

La traducción al inglés de Blackwell del inédito De motu corporum ex percussione de Huygens (1656, publicado póstumamente en 1702, The Motion of Colliding Bodies) está disponible en Jstor. Se puede ver que no usa fórmulas y lleva todos los argumentos geométricamente, en el venerable estilo de Euclides y Arquímedes, el mismo estilo que adoptará más tarde Newton en Principia. La ley de conservación es la Proposición 11, formulada así:

Proposición 11: Si dos cuerpos chocan entre sí, y si la razón de sus magnitudes y sus velocidades se da en números o en líneas, entonces la suma de sus magnitudes multiplicada por los cuadrados de sus respectivas velocidades es igual antes y después de la colisión.

Blackwell agrega que Huygens formuló esta ley para colisiones perfectamente elásticas ya en 1652, sin explicación: Sed necesse est quadrata velocitatum ducta in magnitudinem corporum semper eundem numerum producere (Pero es necesario que los sólidos en los cuadrados de las velocidades y las magnitudes de los los cuerpos siempre producen el mismo número). La demostración utiliza las técnicas del Libro II de los Elementos, anteriormente conocido como "álgebra geométrica", en particular II.8:

" Si se corta al azar una línea recta, cuatro veces el rectángulo contenido por el todo y uno de los segmentos junto con el cuadrado del segmento restante es igual al cuadrado descrito en el todo y dicho segmento como en una línea recta " (algebraicamente,$4(AB\times AC) + (CB)^2 = (AB + AC)^2$).

Para dar una idea de la siguiente prueba de dos páginas, dividida en siete casos diferentes, aquí hay dos extractos del principio y el final:

" Lo que hay que probar es que la figura sólida compuesta por la línea CB multiplicada por el cuadrado de AD más el sólido de CA por el cuadrado de BD es igual al sólido de CB por el cuadrado de EA más el sólido de CA por el cuadrado de EB.

[...] Pero cuando el cuadrado de AD es mayor o menor que el cuadrado de AE, entonces el cuadrado de BE siempre será respectivamente mayor o menor que el cuadrado de BD. Por lo tanto, está claro que el sólido compuesto por BC por el cuadrado de AD siempre es mayor o menor que el sólido compuesto por BC por el cuadrado de AE ​​en la misma cantidad que el sólido compuesto por AC por el cuadrado de BE es respectivamente mayor o menor. menor que el sólido compuesto por AC por el cuadrado de BD. QED "

Según Blackwell, se pueden encontrar conversiones algebraicas de las pruebas en De motu en las notas del editor de Huygens's Oeuvres, vol. XVI, págs. 29-91.

Hay varios temas en el artículo inédito de Huygens De motu corporum ex percussione ("Sobre el movimiento de los cuerpos fuera de las colisiones"), pero quizás el más significativo es que investiga con frecuencia un caso específico o extremo (donde algún factor es cero, uno , o infinito) primero, y luego adivina sobre un caso general que podría tener esos en su límite. Llamemos a esto su mentalidad de "primero lo específico" y analicemos su argumento.

Preludio: colisiones elásticas entre bolas iguales

Huygens comienza desde una perspectiva galileana básica donde los cuerpos en movimiento continúan en movimiento uniforme en línea recta a menos que se les impida. Su problema es que no sabe necesariamente cuál es la mejor manera de expresar qué hace que una colisión sea elástica. Así que comienza de manera específica primero: si dos bolas son idénticas, entonces por simetría, si ambas vienen hacia un centro de colisión con velocidad.$s$, luego, en una colisión rígida, ambos deberían salir con velocidad$s$.

Para generalizar esto, agrega lo que ahora llamamos la "libertad de elección del marco de referencia" o el "principio de la relatividad", dice que la forma en que la física funciona en un viaje en tren/barco suave es la misma que funciona en el tierra, sin importar qué tan rápido vaya el tren/barco. Él va específico primero: asume una de las bolas idénticas$Y$es estacionario y el otro$X$viene desde la izquierda a una velocidad$v_X = u$, entonces puedo usar la relatividad (agregar$-u/2$a todas las velocidades) para probar que después de la colisión$v_X = 0$y$v_Y=u.$Luego generaliza aún más: el enfoque correcto es considerar un barco que navega suavemente desde el punto medio entre$X$y$Y$al punto de colisión entre ellos: tal barco tiene velocidad$v_B = (v_X + v_Y)/2$y las dos velocidades son$v_{X,Y} = v_B \pm \delta$, y los oficios de colisión$\pm \leftrightarrow \mp$por lo que llega a la conclusión de que después de cualquier colisión de bolas idénticas, intercambian velocidades (y, por supuesto, las velocidades invierten la dirección).

¿Qué pasa con las bolas no idénticas?

Así que primero ha manejado un caso muy específico, pero ahora Huygens quiere generalizar su definición de "colisión rígida". No le sirve de nada si esa definición solo maneja cuerpos idénticos. ¡Pero en realidad generaliza de una manera específica primero también! Comienza con el caso de una bola grande y desigual que golpea a una bola pequeña en reposo, y dice: "No diré exactamente qué sucede, pero seguramente la bola más pequeña comienza a moverse hacia adelante, y la bola más grande avanza menos".

Es importante entender que esto está relacionado con lo que se acaba de derivar. Acabamos de ver que si la bola "más grande" fuera solo infinitesimalmente más grande , se detendría aproximadamente . Entonces, al hacerlo más grande, presumiblemente debe seguir avanzando . El caso límite en el otro lado, que si la bola más pequeña fuera infinitesimalmente pequeña, la bola más grande debería continuar en movimiento uniforme, también significa que la bola más grande nunca va más rápido de lo que comenzó a partir de este tipo de colisión.

Huygens usa el principio de relatividad para derivar el caso límite opuesto: si uno toma esta imagen completa$X \gg Y, ~(V_X = u,~V_Y=0)\mapsto (u_-, u_+), u_- < u < u_+$y lo cambia por$-u$entonces uno encuentra una imagen donde$V_X$empieza a$0$y luego se convierte en un número negativo$u_- - u$mientras$V_Y$empieza a$-u$y se convierte en un número positivo$u_+ - u$, rebotando hacia delante. Huygens en realidad no habla mucho sobre el rebote, pero creo que eso se debe a que el rebote ya era la mejor predicción anterior, debido a Descartes:

Cuarto, si el cuerpo C estuviera completamente en reposo... y si C fuera un poco más grande que B; este último nunca podría tener la fuerza para mover a C, por grande que sea la velocidad con la que B se acerque a C. Más bien, B sería empujado hacia atrás por C en la dirección opuesta: porque… un cuerpo en reposo opone más resistencia a alta velocidad que a baja velocidad; y esto aumenta en proporción a las diferencias en las velocidades. En consecuencia, siempre habría más fuerza en C para resistir que en B para impulsar, …. (Descartes, traducido en SEP )

Huygens continúa diciendo claramente que está refutando a Descartes: si un objeto grande siempre se mueve más lento cuando choca contra un objeto estacionario pequeño, estos principios de Galileo exigen que el objeto grande siempre se mueva por cualquier colisión de un objeto pequeño que impacta. Huygens está diciendo "¡no, el objeto grande enfáticamente no se detiene!" y eso es mucho más importante para él y la física de su época, que decir que el pequeño objeto debe viajar hacia atrás, lo que ya era obvio.

La generalización más amplia a bolas desiguales

Así que Huygens ha atacado el problema específicamente primero y ha encontrado estas dos velocidades$u_- < u < u_+$, y conoce al menos un caso límite, donde la relación de masa es$m_Y/m_X = 1$, dónde$u_-=0$mientras$u_+ = u.$Es de suponer que ya tiene una idea del otro caso límite, donde la "bola"$X$se convierte más en un "muro" a medida que esta relación de masas llega a cero: hay muchas razones, tanto experimentales como teóricas, para imaginar que contra un muro inamovible ($v_X$viene de$0$a$0$) una colisión frontal rígida debe hacer que una pelota rebote con la misma velocidad que impactó ($v_Y$viene de$-u$a$u$). Y postula que, por lo tanto, la ley general es la siguiente: si puede encontrar un marco de referencia (llamémoslo un marco "central") donde un objeto entra con velocidad$+u$y luego sale con velocidad$-u$, el otro objeto también debe ver su velocidad sin cambios. Esta es su formulación original de la conservación de la energía, que un marco central para$X$es, en una colisión rígida, también un marco central para$Y$.

Huygens procede a proponer una formulación alternativa de esa condición: la velocidad relativa de los dos cuerpos es la misma antes y después de la colisión. En este marco central esto es fácil, van de velocidad relativa$-|v_X| - |v_Y|$a la velocidad relativa$|v_X| + |v_Y|$y esos son solo diferentes por una diferencia de signo; además, cualquier transformación a cualquier otro marco conserva las velocidades relativas. También deriva el otro caso límite donde la relación de masa es cero: si una masa$X$golpea un casi sin masa$Y$entonces para preservar la velocidad relativa cuando$v_X$apenas cambia,$v_Y$debe tomar el valor límite$2v_X.$

Añadiendo masas a la imagen.

Hasta ahora, Huygens se ha mostrado reacio a colocar la masa directamente en su razonamiento y eso es bastante comprensible: quiere que sus argumentos se mantengan independientemente de las observaciones de Galileo sobre la gravedad y cómo caen las cosas y cómo funcionan las escalas. Pero él insiste en conectar sus matemáticas con el trabajo de Galileo eventualmente y llega a este argumento: que este marco de centro de masa equivale a tomar el peso de los objetos y multiplicarlo por sus velocidades y establecer que sean iguales. Él lo expresa como "si dos cuerpos cuyas velocidades son inversamente proporcionales a sus magnitudes chocan entre sí, entonces cada uno rebota con la misma velocidad que tenía antes de la colisión". Entonces él sabe lo que es un "centro de gravedad"

Para hacer la conexión, observa que Galileo demostró que las cosas que caen caen una distancia proporcional al cuadrado del tiempo, lo que significa que su velocidad final aumenta proporcionalmente al tiempo. Huygens dice que esto significa que la distancia es proporcional a la velocidad al cuadrado, y luego dice "oh, y también puedo usar esto a la inversa, porque todos saben que la velocidad que adquiere algo cuando desciende es exactamente lo que necesita". para volver a subir".

Su argumento es geométrico, por lo que es un poco torpe para expresarlo en su idioma, lo reformularé algebraicamente. Así que dice "digamos a la hora$t=-T$liberas estas dos masas del reposo desde diferentes alturas, las pones en una especie de curva como lo hizo Galileo para que cambien de dirección a la horizontal sin cambiar la velocidad. chocan en$t=0$y rebotan, y vuelven a diferentes alturas. Elegimos las velocidades originales de acuerdo con este principio de equilibrio, así que déjame definir las proporciones de masa$\mu_i = m_i/(m_1 + m_2)$y tenemos$v_1 = u/\mu_1$y$v_2 = -u/\mu_2$para algún número (con dimensiones de velocidad)$u$. Finalmente, congela cada uno cuando alcance su máximo. Entonces si rebotan con velocidades$s_{1,2}$alcanzan alturas$s_1^2/(2a)$y$s_2^2/(2a)$cuando los detenemos en el aire, y su centro de gravedad alcanza así una altura proporcional a$\mu_1 s_1^2 + \mu_2 s_2^2$sujeto a la restricción de que$s_1 + s_2 = u\cdot(1/\mu_1 + 1/\mu_2).$

A partir de aquí, lo que observa es esencialmente que se puede deducir que esta altura máxima del centro de gravedad se minimiza a su vez por esta elección.$s_1 = u / \mu_1, s_2 = u/\mu_2:$cualquier otra opción de$s_{1,2}$conduce a un centro de gravedad más alto. ¿Por qué importaría esto? Porque en el argumento que da Huygens, afirma que es imposible que este aparato de colisión devuelva el centro de gravedad a una altura mayor que la que tenía al principio. Entonces, si comenzamos desde el mínimo y no podemos regresar más alto, debemos regresar a la altura a la que llegamos, y las velocidades deben ser las mismas hacia afuera que hacia adentro. (Hoy diríamos que si hay dos configuraciones sin energía cinética y no hay entrada de energía externa, entonces la gravedad es una fuerza conservativa y, por lo tanto, la altura del centro de masa debe ser estrictamente menor, ya que las únicas posibilidades son los términos de pérdida por fricción, si eso ayuda).

Entonces, la afirmación que está haciendo Huygens es que, en su día, se sabe que cuando la única fuerza externa que está involucrada es la gravedad (presumiblemente combinada con las fuerzas para fijar un objeto en su altura máxima y cambiar su dirección sin cambiar su velocidad ), no hay forma de que la gravedad aumente la altura de un centro de gravedad que comienza en reposo. Dado que cualquier otra asignación de$s_{1,2}$lo aumentaría, se deduce que si empezamos con el mínimo, sólo la asignación minimizante$s_{1,2} = u/\mu_{1,2}$obras.

Finalmente derivando la conservación de la energía cinética.

Entonces, Huygens ahora ha identificado el marco de "mismas velocidades" con el marco del centro de masa, y da un argumento geométrico bastante complicado que creo que puedo reemplazar (como, ni siquiera voy a tratar de igualar su argumento) de la siguiente manera: primero observamos una colisión en el marco del centro de masa donde hemos determinado que las velocidades iniciales son$v_1 = u/\mu_1, v_2 = -u/\mu_2$y las velocidades finales son$V_1 = -u/\mu_1, V_2 = +u/\mu_2.$Podemos ver muchas cosas que son invariantes en este marco, por ejemplo$a_1 v_1^2 + a_2 v_2^2 = a_1 V_1^2 + a_2 V_2^2$para cualquier$a_{1,2}$porque es verdad si$a_1 = 0, a_2\ne 0$y viceversa. La cuadratura es importante para lograr que el negativo desaparezca, pero por lo demás no tiene un propósito más profundo aquí.

Pero recuerda que Huygens está interesado en el principio de la relatividad, por lo que está interesado en agregar una velocidad constante$c$a todos estos números. Cuando hacemos eso en el caso de estas sumas cuadradas encontraremos

$$a_1 (v_1 + c)^2 + a_2 (v_2 + c)^2 = a_1 v_1^2 + a_2 v_2^2 + 2 (a_1 v_1 + a_2 v_2) c + (a_1 + a_2) c^2.$$ Ahora bien, si igualamos esto a$a_1 (V_1 + c)^2 + a_2 (V_2 + c)^2$para encontrar una cantidad que sea la misma antes y después, sin importar qué$c$es decir, encontramos que los términos iniciales y finales desaparecen y el término medio lo podemos dividir por$2c$saliendo solo $$a_1 v_1 + a_2 v_2 = a_1 V_1 + a_2 V_2.$$ Sin embargo, hay un problema aquí, el lado derecho es el negativo del lado izquierdo. Por lo tanto, solo pueden ser iguales si ambos son iguales a cero, y$a_1 (u/\mu_1) - a_2 (u/\mu_2) = 0$lleva naturalmente a elegir$a_{1,2} \propto m_{1,2}.$Entonces nuestra conclusión es que la suma de$mv^2$debe ser el mismo antes y después.