¿Por qué la mayoría de los ferroimanes son metales mientras que los antiferroimanes son aislantes?

Primero permítanme hacer dos comentarios antes de responder la pregunta.

1. La diferencia entre metal y aislante radica en la existencia o no de la superficie de Fermi del electrón itinerante. El modelo de Ising (o Heisenberg) es solo una teoría efectiva de momentos locales (electrones localizados en los átomos), que no contiene información del electrón itinerante, por lo que no hay esperanza de comenzar con un modelo de Ising y explicar la diferencia entre metal y aislante. .

2. La observación de que "los ferroimanes son en su mayoría metales, mientras que los antiferroimanes son en su mayoría aislantes" no es del todo cierta. Hay aisladores ferromagnéticos como$\text{Fe}_3\text{O}_4$, que es uno de los primeros ferromagnetos descubiertos en la historia humana. También hay ejemplos de metales antiferromagnéticos, de los históricos como$\text{Cr}$a los más recientes, como los compuestos originales de los superconductores a base de hierro (por ejemplo,$\text{Ba}\text{Fe}_2\text{As}_2$).

Los diferentes imanes surgen de los diferentes mecanismos de intercambio magnético en el material. A continuación, se enumeran algunos de los mecanismos de intercambio más famosos en el sólido, pero como el material puede ser complicado, la lista está lejos de ser completa.

• Metal ferromagnético: intercambio itinerante (interacción RKKY),
• Aislante ferromagnético: doble intercambio,
• Metal antiferromagnético: anidamiento superficial de Fermi e inestabilidad SDW,
• Aislante antiferromagnético: superintercambio.

En muchos metales de transición (p. ej.$\text{Fe}$), la interacción de intercambio entre los iones magnéticos está mediada por los electrones itinerantes (de conducción). El sistema de metales de transición contiene tanto los electrones itinerantes como los momentos locales (típicamente de$d$orbitales). Los momentos locales simplemente se sientan en cada átomo mientras el electrón itinerante viaja entre los átomos. Cuando el electrón itinerante se encuentra con el momento local, se polarizan mutuamente hacia la misma orientación. Así como los electrones itinerantes viajan entre los átomos, el mensaje de la orientación magnética se lleva de un momento local a otro. Entonces, eventualmente, todos los momentos locales tienden a alinearse en la misma dirección con el electrón itinerante y, a medida que el momento local ordena, más electrones itinerantes se polarizarán a la orientación de orden para reforzar el orden. Por lo tanto el ferromagnetismo se desarrolla en el metal por este comportamiento colectivo. Este mecanismo se conoce como intercambio itinerante o interacción Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida (RKKY). En el espacio real, la interacción RKKY entre dos momentos locales del distante$r$sigue el comportamiento oscilatorio

$$J_\text{RKKY}(r)\sim-\frac{\cos(k_F r)}{r^3}.$$ Como en el límite diluido $k_F r\ll 1$para muchos metales, dominará el ferromagnetismo.

Los aisladores antiferromagéticos suelen ser aisladores de Mott, en los que la superficie de Fermi está abierta por interacción y no hay electrones itinerantes. En este caso, la correlación magnética debe estar mediada por otro mecanismo, que se conoce como superintercambio. En el aislador de Mott más simple (p. ej.$\text{Mn}\text{O}$), cada ion magnético$\text{Mn}^{2+}$tendría un solo electrón desapareado en un$d$orbital, que puede saltar entre$\text{Mn}$sitios puenteados por el$\text{O}^{2-}$ion en el medio. Cuando el electrón gira$\text{Mn}$están alineados de manera opuesta, puede hibridar sobre la unidad Mn-O-Mn y ganar energía cinética.

Sin embargo, si el electrón gira sobre$\text{Mn}$están alineados ferromagnéticamente, dicha hibridación estará prohibida por el principio de exclusión de Pauli. Por lo tanto, el superintercambio favorece el antiferromagnetismo y la interacción de intercambio efectiva viene dada por$J\sim t^2/U$dónde$t$es la integral de esperanza efectiva entre$\text{Mn}$sitios, y$U$es la repulsión de Coulomb in situ.

La principal justificación para considerar el modelo de Ising es que se puede resolver exactamente en una y dos dimensiones (y que muestra un comportamiento crítico que es universal en algún sentido). No es particularmente significativo como una aproximación a un sistema físico real.

El modelo de Heisenberg hace un trabajo mucho mejor, pero también es un modelo de celosía. Si realmente desea capturar la estructura de la banda electrónica y el magnetismo, el camino a seguir es el modelo Hubbard . Consiste en un término de salto (de unión estrecha) (con parámetro de salto$t$) para describir la cinética de los electrones, así como una repulsión de Coulomb in situ$U$. Tal configuración donde los espines están asociados con electrones que pueden moverse a través de la red se llama magnetismo itinerante . Se puede obtener el modelo antiferromagnético de Heisenberg a partir del modelo de Hubbard a la mitad del límite de fuerte repulsión in situ$U\gg t$. Entonces, cada sitio está ocupado por exactamente un electrón. Los electrones vecinos podrán intercambiar sitios, dando lugar a una interacción de intercambio efectiva como en el modelo de Heisenberg.

El modelo Hubbard antiferromagnético (es decir, el llenado a la mitad) da lugar a una banda prohibida. Es decir, la estructura de banda sin espacios (metálica) que se obtiene de la teoría de Bloch se modifica por la dinámica de muchos cuerpos. Esto se puede entender en la teoría del campo medio y lo describiré a continuación, pero requiere familiaridad con la segunda cuantización. Un aislador que aísla debido a tal brecha de banda "no Bloch" se llama aislador Mott .

A la mitad del llenado, la dispersión de unión estrecha exhibe una propiedad llamada anidamiento perfecto :$\varepsilon_{k+Q}=-\varepsilon_k$dónde$Q=\frac{\pi}{a}(1,1,1)$, es decir$Q$es el vector recíproco de la$\Gamma$-señale el borde de la zona de Brillouin. Se puede demostrar que la susceptibilidad a los campos externos con$q=Q$es divergente, es decir, una inestabilidad hacia una onda de densidad de espín con$q=Q$ocurre. El hecho de que$Q$llega al borde de la zona de Brillouin significa que la onda de densidad de espín corresponde a un estado fundamental antiferromagnético. Por el contrario, para el modelo de Hubbard a bajo nivel de llenado, se produce una inestabilidad para$q=0$, lo que lleva a un estado fundamental ferromagnético.

Uno puede incluir los efectos de la onda de densidad de espín en la teoría del campo medio donde$\Delta\propto \langle S_Q^z\rangle$(la "brecha") alcanza un valor esperado finito. Después de unas pocas líneas de cálculo, se puede llegar al siguiente hamiltoniano de campo medio:

$$H = \sum_{\sigma}\sum_{k}'\psi_{k\sigma}^\dagger \boldsymbol{\varepsilon}_k^\sigma\psi_{k\sigma}+K_0,\qquad \psi_{k\sigma}=\begin{pmatrix} c_{k\sigma}\\ c_{k+Q,\sigma} \end{pmatrix},\quad\boldsymbol{\varepsilon}_k^\sigma=\begin{pmatrix} \varepsilon_k & -\sigma\Delta\\ -\sigma\Delta & -\varepsilon_k \end{pmatrix}.$$

Aquí, la suma terminada$k$se extiende sólo sobre la mitad de la zona de Brillouin, llamada "zona magnética". El$\psi$vector es en realidad un vector de operadores de aniquilación. Esto es simplemente un truco matemático y nada profundo. Pero nos permite escribir el hamiltoniano en esta forma cuadrática compacta.

Ahora se puede diagonalizar la matriz$\boldsymbol{\varepsilon}_k^\sigma$:

$$\psi_{k\sigma}^\dagger \boldsymbol{\varepsilon}_k^\sigma\psi_{k\sigma} = \begin{pmatrix}\gamma_{k\sigma}^{c\dagger} & \gamma_{k\sigma}^{v\dagger}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_k & 0\\ 0 & -E_k \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma_{k\sigma}^c\\\gamma_{k\sigma}^v\end{pmatrix},\qquad E_k=\sqrt{\varepsilon_k^2+\Delta^2}$$

Esto se llama transformación de Bogoliubov y es muy similar a lo que se hace en la teoría BCS de la superconductividad. el superíndice$c$y$v$denotan "conducción" y "valance", respectivamente. En efecto,$\pm E_k$es ahora la banda de dispersión de la conducción ($+$) y cenefa ($-$) electrones que son en sí mismos superposiciones de electrones con vectores de onda$k$&$k+Q$. Puedes ver eso por$\Delta\to 0$, la dispersión de la banda se reduce a la de unión estrecha ($E_k\to\varepsilon_k$). por finito$\Delta$, sin embargo, se abrirá una brecha, centrada en la superficie de Fermi, donde la dispersión tiene un salto de$2\Delta$. Esto convierte el metal en un aislante (Mott).