Explicación simple del efecto Kondo

El efecto Kondo es un fenómeno que ocurre cuando tenemos una impureza magnética ubicada en un lugar de un metal no magnético. La impureza magnética tiene un giro residual debido a su configuración electrónica. Los electrones de la banda de conducción interactuarían con este electrón a través de una interacción de intercambio . Podemos ver en la ecuación 10 de la página wiki que la interacción es algo así como:

$$\Delta H = - J \vec{S}_{cb}\cdot \vec{S}_{imp}\,,$$

cuando el$\vec{S}_{cb}$es la densidad de espín de los electrones en el punto donde se encuentra la impureza, y$\vec{S}_{imp}$es el espín residual de la impureza. El J es el parámetro de intercambio, o el parámetro de acoplamiento. Decimos que el acoplamiento es ferromagnético cuando$J>0$, y antiferromagnético cuando$J<0$. Todo esto se conoce como el modelo Kondo , o modelo de interacción sd.

El efecto Kondo es un fenómeno cuántico en el sentido de que si piensas en el modelo en términos de mecánica clásica es imposible apreciar el fenómeno. Clásicamente, la interacción entre la impureza y los electrones del metal es muy simple: una simple dispersión del electrón en la impureza por un proceso como:

$$|\vec{k},\,\uparrow ,\, \downarrow \rangle \rightarrow |\vec{k}',\,\uparrow ,\, \downarrow \rangle\,,$$

obedeciendo a la conservación de la energía. Este es el famoso término Born de la teoría de la perturbación. Estamos despreciando la no conmutación entre el hamiltoniano de la banda de conducción y el operador$\vec{S}_{cb}$. La energía total (Hamiltoniana) del sistema no conmuta con el operador de densidad de espín$\vec{S}_{cb}$de la banda de conducción, por lo que también debemos apreciar esto (recuerde que la no conmutación es una característica cuántica).

(Aquí hay matemáticas "duras")

En busca de la simplicidad, tomemos el hamiltoniano de los electrones de la banda de conducción como:

$$H_{cd} =\int_{-D}^{D} \frac{|\vec{k}|^2}{2m}\, \left( c_{\vec{k},\,\uparrow}^{\dagger}c_{\vec{k},\,\uparrow} + c_{\vec{k},\,\downarrow}^{\dagger}c_{\vec{k},\,\downarrow} \right) \,d^3\vec{k}$$

Si suponemos que la impureza se encuentra en un punto$\vec{r}_0$en el espacio, tenemos para el operador$\vec{S}_{cb}$:

$$\vec{S}_{cb} = \int_{-D}^{D} d^3\vec{k} \int_{-D}^{D} d^3\vec{k}'\sum_{\mu,\,\nu - \left(\uparrow,\,\downarrow \right)}\,c_{\vec{k},\,\mu}^{\dagger}\langle \vec{k},\,\mu|\sqrt {2\pi}^3\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_0) \frac{\hbar}{2}\vec{\sigma}|\vec{k}',\,\nu \rangle c_{\vec{k}',\,\nu}\,.$$

El término$\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_0)$significa que$\vec{S}_{cb}$es la densidad en un solo punto, el punto donde se encuentra la impureza. El$\vec{\sigma}$son las matrices de Pauli . Todos los términos entre bra y ket son operadores. Entonces, la función delta de Dirac actúa como un operador en el estado$|\vec{k}\,\mu\rangle$:

$$\sqrt{2\pi}^3\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_0)|\vec{k}\,\mu\rangle \rightarrow\int_{-D}^{D}\frac {d^3\vec{k}}{\sqrt {2\pi}^3} e^{i\vec{k}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)}|\vec{k}\,\mu\rangle$$

Estoy usando la transformada de Fourier .

(Aquí terminan las matemáticas)

De acuerdo. Ahora, tenemos como interacción un término como este:

$$\Delta H = J \left( A_{\uparrow}^{\dagger}A_{\uparrow} - A_{\downarrow}^{\dagger}A_{\downarrow}\right)S_z + J A_{\uparrow}^{\dagger}A_{\downarrow} S_{-} + J A_{\downarrow}^{\dagger}A_{\uparrow} S_{+}\,$$

dónde$S_{\pm}$son los operadores de escalera del giro de la impureza. El operador$A_{\uparrow \downarrow}$es el núcleo del efecto Kondo . Estos operadores se obtienen mediante la ecuación de$\vec{S}_{cb}$, y se escriben como:

$$A_{\uparrow \downarrow} = \int_{-D}^{D}\frac{d^3\vec{k}}{\sqrt{2\pi}^3} e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}_0}c_{\vec{k}\,\uparrow \downarrow}$$

Es una superposición de todas las energías, desde la alta energía$D$a cero. por supuesto que$A$no viaje con$H_{cb}$. Cuando calculamos la siguiente corrección en la teoría de la perturbación (correcciones al término de Born), encontramos integrales:

$$J^2\sum_{k\neq n} \frac{\langle n| \Delta H| k \rangle \langle k| \Delta H|n \rangle}{E_n-E_k}\sim J^2\,\int_{0}^{D}\,\frac{dk}{k}\,.$$

Este término no es más que una transición.$|\vec{k}\uparrow \downarrow \rangle \rightarrow |\vec{k}'' \downarrow \uparrow \rangle \rightarrow |\vec{k}'\uparrow \downarrow \rangle$, y otros tipos de transiciones como sugieres dan lo mismo, pero la transición intermedia no obedece a la conservación de la energía. Estas integrales son divergentes. Jun Kondo, en 1964 , descubre que si está interesado en las cantidades termodinámicas, puede poner un límite inferior a la integración:

$$\sim J^2\,\int_{k_BT}^{D}\,\frac{dk}{k}\,.$$

Esta integral es pequeña, lo que justifica el enfoque de perturbación, cuando:

$$T\gg D\,e^ \frac{1}{-J^2}$$

Esta temperatura se conoce como la temperatura de Kondo. Cuando nos acercamos a esta pequeña temperatura, la teoría de la perturbación falla y los sistemas se cruzan para formar un estado de enlace entre unos pocos electrones en el metal y la impureza magnética.

En el último año trabajo con el Grupo de Renormalización Numérica , un método diseñado para calcular las cantidades termodinámicas del modelo Kondo para cada temperatura, especialmente las pequeñas.

La física del fenómeno es que a temperatura cero, hay un estado ligado formado por una gran cantidad de electrones alrededor de la impureza a través de la interacción de intercambio. Todos estos electrones comparten la impureza de una manera nada trivial, después de todo son fermiones. Los fermiones no quieren estar en el mismo estado. Resulta que estos electrones están alrededor de la impureza con espines alternos de tal manera que ciegan la impureza magnética. En este estado ligado, el giro total del sistema es cero. Cuando aumentamos la temperatura la energía$k_B T$comienza a perturbar este estado ligado hasta alcanzar la temperatura de Kondo. A temperaturas mayores,$k_BT$destruye completamente el estado ligado y tenemos una impureza desnuda. Todo este fenómeno se produce porque el operador$A_{\uparrow\downarrow}$es una integral sobre suficientes energías pequeñas (pequeñas que$k_BT_K$, dónde$T_K$es la temperatura de Kondo).