¿Por qué la mayoría de las curvas de distribución tienen forma de campana? ¿Existe alguna ley física que haga que las curvas tomen esa forma?

Primero, las distribuciones no siempre tienen forma de campana. Un conjunto muy importante de distribuciones disminuye desde un máximo en$x=0$, como la distribución exponencial (tiempos de retraso hasta que se produce un evento aleatorio, como una desintegración radiactiva) o las leyes de potencia (distribuciones de tamaño de objetos que se fragmentan aleatoriamente, terremotos, ley de mineral y muchas otras cosas).

Distribuciones estables

Aún así, hay una similitud sospechosa entre muchas distribuciones. Éstos se producen debido a las leyes estadísticas que los convierten en "atractores": se llevan a cabo varios procesos aleatorios muy diferentes, pero sus resultados tienden a combinarse para formar distribuciones similares. Como mencionó Bob, el teorema del límite central hace que la suma de factores aleatorios independientes (¡de varianza finita!) se acerque a una distribución gaussiana (ya que es tan común que se llama distribución normal). Estrictamente hablando, hay algunas otras posibilidades . Si, en cambio, se multiplican los factores aleatorios, el resultado es la distribución logarítmica normal . Si tomamos el máximo de algunas cosas al azar, la distribución se aproximará a una distribución de Weibull (o,algunos otros ). Básicamente, muchos procesos repetidos o complejos tienden a producir las mismas distribuciones una y otra vez, y muchos de ellos tienen forma de campana.

Distribuciones máximas de entropía

¿Porqué es eso? La respuesta profunda es la maximización de la entropía . Estas distribuciones estables tienden a maximizar la entropía de los valores aleatorios que producen, sujeto a alguna restricción. Si tienes algo positivo y con una media específica, obtienes la distribución exponencial. Si es positivo pero no hay una escala preferida, se obtiene una ley de potencia. Media y varianza especificadas: Gaussiana. Entropía máxima en el espacio de fase para energía media dada: Maxwell-Boltzmann .

Mecánica estadística

Aquí es donde volvemos a la física. Muchos procesos físicos obedecen a la mecánica estadística, que se rige por el postulado de igual probabilidad a priori:

Para un sistema aislado con una energía y composición exactamente conocidas, el sistema se puede encontrar con igual probabilidad en cualquier microestado consistente con ese conocimiento.

Si conocemos exactamente la energía y el número de partículas, cada microestado permitido es igualmente probable (maximiza la entropía), pero cualquier cosa macroscópica que calculemos o midamos será una función de estos microestados aleatorios, por lo que su distribución se agrupará si hay muchos. microestados que pueden generar ese macroestado. Si tiene partículas fijas pero solo conocemos la energía promedio , cada estado tiene probabilidad$(1/Z)e^{-E/k_B T}$dónde$E$es su energía,$Z$es una constante de normalización y$T$la temperatura: esta distribución, la distribución de Boltzmann, maximiza la entropía con la restricción de que la energía media es fija. Distribuciones similares funcionan cuando el número de partículas puede cambiar .

Mecánica cuántica

Finalmente, esto se relaciona con la mecánica cuántica: QM describe el conjunto de posibles microestados, y a partir de eso más la mecánica estadística se pueden calcular las distribuciones estadísticas de cosas macroscópicas como fotones emitidos de diferentes longitudes de onda, velocidades de moléculas de gas o distribuciones de energía cinética. El número de estados disponibles afecta las curvas que obtenemos, y las restricciones del experimento fijan parámetros como la energía o la temperatura, pero dado que la naturaleza maximiza la entropía, obtenemos las distribuciones de maximización de la entropía que se ajustan a estas entradas.

A menudo tienen una forma de campana suelta, ya que hay más estados disponibles para energías altas (la curva crece desde valores bajos a energía baja), pero el sistema no puede poner todas las partículas en estados de energía alta mientras mantiene la energía (promedio) constante (la curva tiene declinar más allá de cierto punto). Pero este es el promedio de una miríada de microeventos que tienen distribuciones más complejas o discretas.

La "curva de campana" a menudo se refiere a una distribución gaussiana. Esa distribución es tan común que también se llama distribución normal. Es muy común porque surge cada vez que observa la suma de muchas cosas de una sola distribución: es decir, muchas pequeñas fluctuaciones que, según el Teorema del límite central , suman una distribución gaussiana.

Aunque parecen tener forma de campana, ninguno de los ejemplos aquí son realmente gaussianos. Tienen causas algo más complicadas.

De las tres, la distribución de Maxwell es la que más se acerca. Es un poco más alto en la cola superior que un Gaussiano, y va a cero en cero a diferencia de un Gaussiano. (La distribución de velocidades a lo largo de un solo eje es gaussiana) Físicamente, esto es causado por el espacio de fase : para tener una velocidad exactamente cero, una partícula necesita todos los Vx, Vy y Vz cero, lo cual es muy poco probable.

Las otras dos distribuciones se alejan aún más de la Gaussiana.

Las distribuciones de Wien tienen una razón de mecánica cuántica, aunque es algo específica de la radiación de Planck subyacente: proviene de la necesidad de que la radiación de mayor energía (longitud de onda más baja) llegue en cuantos de tamaño específico. Esto hace que el aumento proveniente de la izquierda tenga que invertirse para llegar a cero en cero.

La forma de decaimiento Beta tampoco proviene de la combinación de muchos efectos pequeños. Más bien, también proviene del espacio de fase : cuando la partícula beta tiene una energía media, hay muchas posibilidades para la dirección y la energía del núcleo y el neutrino. Sin embargo, a energías muy altas o muy bajas, hay muchas menos posibilidades: todo tiene que alinearse correctamente, por lo que la probabilidad es menor.

Muchas distribuciones físicas, particularmente en física térmica o estocástica, tienen un aspecto de "joroba central redonda, decreciente en ambos lados" debido a los límites de lo físicamente posible: algún principio, como la cuantización o la conservación de la energía, hace que sea muy poco probable o incluso imposible más allá de algún valor. En la física térmica, estas son a menudo las leyes de la probabilidad: estás combinando un montón de pequeños efectos, es poco probable que todos vayan de una forma u otra. Es poco probable que todos los eventos te empujen hacia una cola u otra, y cuanto más te alejas, menos probable es que la alineación se vuelva. Por lo tanto, es común que una distribución física se aleje de un pico central que es aproximadamente donde se han cancelado todas las fluctuaciones +/-.

Las distribuciones útiles en física tienden a tener las siguientes características:

• función continua/suave
• enfoque asintótico cero para grandes$x$ y muy pequeño$x$(es decir, 0) o infinito negativo
• tener un solo pico

que son más o menos las características definitorias de las funciones en forma de campana :

Una función en forma de campana o simplemente "curva de campana" es una función matemática que tiene una curva característica en forma de "campana". Estas funciones suelen ser continuas o uniformes, se aproximan asintóticamente a cero para valores negativos/positivos grandes.$x$, y tienen un único máximo unimodal en pequeñas$x$.

Hay, por supuesto, distribuciones útiles en física que no siguen todos estos rasgos (y por lo tanto no tienen forma de campana). Por ejemplo, las distribuciones de ley de potencia (utilizadas en la función de masa inicial estelar y los flujos de rayos cósmicos ), este tipo de distribución sigue siendo continua y de un solo pico, pero no se acerca asintóticamente a 0 en ninguno de los extremos. En este caso, cuando se necesita integrar sobre la distribución, se utilizarían los límites físicos para los límites superior e inferior (p. ej., 0,08$M_\odot$y ~150$M_\odot$para la función de masa inicial, cf. esta publicación SE mía ), en lugar de$(0,\,+\infty)$o$(-\infty,\,+\infty)$

Por lo que puedo decir, si desea que sean continuas, comiencen en el origen, no sean negativas y tengan una integral impropia definida , deberán tender a$0$en$+ \infty$, ser acotado y aceptar un máximo.

Además de eso, si aceptan exactamente un máximo local, tendrán una forma similar a las curvas que publicaste.