¿Por qué la gravedad viaja a la velocidad de la luz?

Sí, GR predice la propagación luminal de ondas gravitacionales, por ahora confirmado en LIGO. La gravedad linealizada es una aproximación adecuada a la relatividad general: la métrica del espacio-tiempo,$g_{ab}$, puede tratarse como si se desviara solo ligeramente de una métrica plana,$\eta_{ab}$,

$$\begin{equation} g_{ab} = \eta_{ab} + h_{ab},\qquad ||h_{ab}|| \ll 1\;. \end{equation}$$ El tensor de Einstein resultante es entonces $$G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2}\eta_{ab} R \\ = \frac{1}{2}\left(\partial_c\partial_b {h^c}_a + \partial^c \partial_a h_{bc} - \Box h_{ab} - \partial_a\partial_b h -\eta_{ab}\partial_c\partial^d {h^c}_d + \eta_{ab} \Box h\right)\;.$$

En términos de la perturbación de trazo invertido$\bar h_{ab} = h_{ab} - \frac{1}{2}\eta_{ab} h$, esto se reduce a

$$G_{ab} = \frac{1}{2}\left(\partial_c\partial_b {{\bar h}^c}_{\ a} + \partial^c \partial_a \bar h_{bc} - \Box \bar h_{ab} -\eta_{ab} \partial_c\partial^d {{\bar h}^c}_{\ d}\right)\;.$$

En el calibre Lorenz, esto se puede reducir aún más a

$$G_{ab} = -\frac{1}{2}\Box \bar h_{ab}\;,$$ una ecuación de onda relativista en el vacío, donde G _ab se anula, $$\left (\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\right ) \bar h_{ab}=0\;.$$

Entonces esta perturbación (onda gravitacional) viaja con la velocidad de la luz. Tras la cuantificación, puede ver fácilmente que su excitación cuántica, el gravitón, no tiene masa y también viaja a la velocidad de la luz, como todas las partículas sin masa .

Obsérvese que la escala de gravedad, la constante G de Newton , o, equivalentemente, la masa de Planck sólo intervienen en el acoplamiento de esta onda o partícula a la materia (y energía) y no en su libre propagación en el espacio, en este régimen de campo débil, por lo que se desacopla aquí.

Me gustaría agregar a la respuesta de Cosmas Zachos ; pero primero, uno puede encontrar muchos más detalles sobre la derivación de la ecuación de onda para ondas gravitacionales de campo débil como se da en el resumen de Cosmas en el Capítulo 9 "Radiación gravitacional" del libro "Un primer curso de relatividad general" de Berhard Schutz.

La respuesta de Cosmas es correcta, pero me gustaría señalar que hay un sentido en el que GTR se construye desde el principio para tener una velocidad de propagación de ondas gravitacionales de$c$, y también se puede pensar en las ecuaciones de Maxwell de la misma manera. Es decir, sus velocidades de propagación de ondas se derivan igualmente de pensamientos y postulados elaborados en la teoría especial de la relatividad (o al menos uno puede hacer este postulado teórico y, hasta ahora, presenciar resultados experimentales consistentes con él).

La razón por la que el análisis de campo débil en la respuesta de Cosmas / capítulo 9 de Schutz produce un D'Alembertiano con una velocidad de onda de$c$es que, desde el principio, se postula que la Relatividad General se codifica como ecuaciones de campo que restringen la parte del tensor de Ricci ( es decir , la parte de codificación de la variación de volumen ) del tensor de curvatura en una variedad que es localmente lorentziana. El bit "lorentziano localmente" es el factor decisivo, aquí: para cada observador hay un marco inercial que se mueve momentáneamente en el que la métrica en la posición del espacio-tiempo del observador es precisamente$\mathrm{d} \tau^2 = c^2\,\mathrm{d} t^2 - \mathrm{d}x^2-\mathrm{d}y^2-\mathrm{d}z^2$cuando usamos una base ortonormal para el espacio tangente en el punto en las coordenadas normales de Riemann. Por supuesto, no todas las teorías que tienen lugar en una variedad lorentziana local tienen que producir una ecuación de onda, pero las ecuaciones de Einstein de vacío de campo débil tienen una estructura que sí produce esta ecuación, como en la respuesta de Cosmas . El hecho de que la constante en esa ecuación sea$c$se remonta directamente al carácter lorentziano local de la escena (lo múltiple) de nuestra descripción teórica.

Uno puede pensar en las ecuaciones de Maxwell exactamente de la misma manera, y hay varias maneras de hacerlo. Pero una vez que postulas que las ecuaciones de Maxwell son covariantes de Lorentz, entonces la constante en la ecuación de onda que surge de ellas tiene que ser$c$. Uno puede comenzar con la ley de fuerza de Lorentz y postular que el mapa lineal$v^\mu \mapsto q\,F^\mu_\nu\,v^\nu$que produce las cuatro fuerzas de las cuatro velocidades de una partícula cargada sobre la que actúa el campo electromagnético$F$es un tensor mixto. Ahora tome la ley de Gauss para el magnetismo$\nabla\cdot B=0$y postular que es cierto para todos los observadores inerciales. De este postulado se deriva$\mathrm{d} F=0$si$F$de hecho se transforma como un tensor. Haz lo mismo con la ley de Gauss para la electricidad.$\nabla\cdot E=0$en espacio libre y derivar$\mathrm{d} \star F = 0$. De estas dos ecuaciones y del lema de Poincaré obtenemos$\mathrm{d}\star \mathrm{d} A=0$, que contiene la ecuación de D'Alembert (con una forma$A$existente tal que$\mathrm{d} A=F$, que es donde se despliega el lema de Poincaré). Y, a partir de la covarianza de Lorentz postulada al principio, la velocidad de onda en esta ecuación de D'Alembert tiene que ser$c$.

Entonces, en resumen, el hecho de que la velocidad de onda sea exactamente la misma para ambas teorías surge porque tienen una teoría de "fuente" común, a saber, la relatividad especial como punto de partida de donde provienen.

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El OP probablemente ya se haya dado cuenta de esto, pero, por el bien de otros lectores, en realidad solo hay una constante electromagnética al igual que solo hay una constante gravitacional$G$. Las unidades SI actuales definen valores exactos para la velocidad de la luz$c$, la constante de Planck$\hbar$, y la carga eléctrica de la unidad$e$; las constantes eléctricas y magnéticas$\epsilon_0$y$\mu_0$están relacionados con la constante de estructura fina medida experimentalmente ,$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\hbar c} = \frac{e^2}{4\pi} \frac{\mu_0 c}{\hbar}$. Como en la respuesta de Cosmas ,$\epsilon_0$no entra en la ecuación de onda del mismo modo que$G$no entra en la ecuación de onda gravitacional de D'Alembert, y$\epsilon_0$(o equivalente$\mu_0$o$\alpha$) solo es directamente relevante cuando las ecuaciones de Maxwell describen el acoplamiento de los vectores de campo a la carga.