¿Por qué la energía potencial es negativa cuando se orbita en un campo gravitacional?

Question

¿Por qué la energía potencial es negativa cuando se orbita en un campo gravitacional?

Ovi

Tenía que resolver un problema, y parte de él era encontrar la energía mecánica del satélite que orbita alrededor de Marte, y tenía toda la información que necesitaba. Pensé que la energía mecánica total sería la energía cinética + la energía potencial, o $KE+PE$ . Sin embargo, tenía la hoja de respuestas y decía que tenía que hacer $KE-PE$ , porque cuando integras $Gm_1m_2/r^2$ obtienes un signo negativo. Puedo ver por qué funciona matemáticamente, pero no entiendo por qué en realidad estás perdiendo energía cuando orbitas en un campo gravitatorio.

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Más sobre la convención de signos para la energía potencial gravitacional .

Respuestas (6)

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david z · Answer 1

Lo primero es lo primero: la energía mecánica total es siempre energía cinética más energía potencial. Entonces, si su hoja de respuestas realmente dijera $KE - PE$ , Está incorrecto. Pero lo que sospecho que realmente dijo es que la energía potencial es negativa, por lo que la fórmula con la que terminas es

\underset{k mi}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} metro v^{2}}} \underset{PAG mi}{\underset{⏟}{- \frac{GRAMO {metro}_{1} {metro}_{2}}{r}}}

$\underbrace{\frac{1}{2}mv^2}_{KE} \underbrace{- \frac{Gm_1 m_2}{r}}_{PE}$

Ahora, el signo negativo no significa que estés perdiendo energía. Simplemente significa que la cantidad de energía es menor que cero.

Considere esto: la fórmula que funciona en la superficie de la Tierra, $PE = mgh$ , tiene sentido, ¿verdad? Parece intuitivo que la energía potencial debería aumentar a medida que se asciende por encima de la Tierra, porque hay que poner energía en algo para elevarla, y cuando es más alta, tiene más potencial para hacer trabajo al caer. Ese mismo principio debería valer para el general $1/r$ -tipo de fórmula: la energía potencial debería aumentar a medida que avanzas. Pero a valores mayores de $r$ , el recíproco de $r$ se hace más pequeño , que es la tendencia equivocada. La solución fácil es hacerlo negativo. Y las matemáticas funcionan para respaldar eso.

Bien, digamos que el satélite no está en órbita; simplemente está cayendo hacia Marte, y tiene una energía cinética inicial de A y una energía potencial inicial de B. ¿No estaría de acuerdo en que para cuando el satélite llegue al (digamos que hay un agujero) centro de Marte, su la energía cinética sería igual a A+B, donde A y B son positivos? Si dice que B es negativo, entonces tiene un KE final de AB, lo cual no tiene sentido ya que es menor que cuando comenzó. Por conservación de la energía, la energía inicial también tenía que ser A+B, donde A y B son positivos. ¿Por qué cambia esto aquí entonces?
Si el satélite tiene una energía potencial inicial de B, entonces B es negativa, porque la energía potencial gravitatoria es negativa. Así que no, no estoy de acuerdo. Su condición de que tanto A como B son positivos no se cumple. En otra nota, la energía total siempre es numéricamente igual a A+B ( no AB). Si el satélite cae hacia adentro, la energía potencial se vuelve más negativa, es decir, menor que B, por lo que la energía cinética debe ser mayor que A para compensar. (No estoy seguro de entender realmente su confusión todavía).
Ok, sigamos lo que dijiste y digamos que el KE es 50J y el PE es -50J. Energía mecánica = KE + PE = 50J + (-50J) = 0J, lo que obviamente es incorrecto. Creo que el objeto tendría que tener 100J de energía mecánica total.
¿Por qué es eso obviamente incorrecto? Porque no tiene nada de malo para mí. Es perfectamente razonable que un objeto tenga 0J de energía mecánica total. Los objetos en órbitas hiperbólicas, o aquellos que son lanzados a velocidad de escape, tienen energía mecánica total cero.
Bueno, pensemos ahora en un objeto que cae sobre la tierra, entonces podemos usar mgh. Aquí está el problema: si un objeto tiene 0 energía mecánica inicial, también tendrá 0 energía mecánica una vez que termine de caer y golpee el suelo. Una vez que toca el piso, tendrá 0 energía potencial y toda la energía cinética (asumiendo que tomamos el 0 nivel de potencial como el piso). Sin embargo, como dije anteriormente, la energía final es igual a la energía inicial, que es igual a 0. Esto significa que el objeto no tiene energía cinética cuando golpea el piso, y esto seguramente es incorrecto.
Sin embargo, esa situación no es directamente comparable, porque cuando estás usando $mgh$ , el punto cero de la energía potencial no es el mismo que cuando estás usando $-Gm_1m_2/r$ . En el primer caso, el punto cero es el piso, o donde sea que midas la altura, pero en el último caso, el punto cero está infinitamente lejos. Su argumento muestra válidamente por qué un objeto no puede tener energía mecánica cero cuando establece el punto de referencia (cero) para PE en el piso, donde el objeto nunca puede pasar, pero no se aplica cuando el punto cero está muy lejos fuera en el espacio.

rastrillo lunar · Answer 2

Aquí hay un modelo simple como explicación:

Imagínese lejos de cualquier campo gravitatorio: su energía potencial es cero. Tan pronto como entras en un campo gravitatorio, estás acelerando y ganando energía cinética. El origen de esta energía es que "tomaste prestada" alguna energía que es la energía potencial que estás perdiendo.

Cuando quieres deshacerte de la gravitación, volviendo por donde viniste, tienes que restituir esta energía, por salir del campo gravitatorio. Entonces su cuenta de energía potencial vuelve a estar en cero.

Tiene sentido, pero la idea de energía potencial "negativa" todavía me inquieta. Debería tener energía potencial almacenada (en cuyo caso sería positiva), o no tiene nada (cero). Convertir 0 energía potencial en energía cinética significa que tendrías que tomar prestada energía de algo que ya es cero.

nadavge · Answer 3

Es simplemente una cuestión de definición. Se define de tal manera que en una distancia infinita la energía potencial es 0, por lo tanto, a medida que te acercas, la energía potencial se expresa en forma de energía cinética y la cantidad de energía potencial "disponible" disminuye. Solo definición.

usuario36790 · Answer 4

En un movimiento unidimensional, el signo realmente significa dirección para los vectores. Puedes decir que positivo es hacia arriba y negativo es hacia abajo o viceversa.

Ahora, ven a tu caso. Parece que lo has entendido matemáticamente. Entonces comience con hacer su intuición. Como se indica en otra respuesta, suponga que está muy, muy lejos, donde la fuerza gravitatoria de la tierra no existe en absoluto. Aquí, tu $KE + PE =0$ . Ahora, ¿qué tan errático con $0$ ? Él está representando cantidad (¡ok! Nada;) . Supongamos que usted y la tierra constituyen un sistema aislado. Ahora, cuando te acercas, la fuerza gravitacional comienza a aumentar y tú comienzas a acelerar y tu energía cinética comienza a aumentar. Pero como te estás moviendo hacia abajo, tu velocidad debe ser negativa. Cuando estás $R$ unidades de distancia de la tierra, su energía total (dado que la tierra es masiva, la mayor parte de la energía potencial del sistema es suya) puede ser dada por

k mi + PAG mi = \frac{1}{2} metro (- v)^{2} + tu

$KE + PE = \dfrac{1}{2} m(-v)^2 + U$ . Pero como el sistema está aislado y la fuerza es conservativa, la energía mecánica debe conservarse en cualquier momento que sea igual a

0

$0$ (¡No te molestes con el cero, es solo un número!). Entonces,

tu = - \frac{1}{2} metro v^{2}

$U = - \dfrac{1}{2}mv^2$ . Por lo tanto, es negativo. Ahora recuerde, mientras que signo significa dirección para los vectores, para cantidades escalares, significa que la cantidad está disminuyendo . Entonces, la energía potencial disminuye a medida que te acercas a la tierra hacia la fuerza gravitatoria. Ahora bien, si se disminuye de

0

$0$ , en que se convierte el numero?? ¡Negativo! Entonces, la energía potencial está disminuyendo, lo cual se indica arriba. A medida que te acercas más y más, la energía potencial se vuelve más y más negativa a medida que disminuye. A medida que avanza más y más, el PE se vuelve cada vez menos negativo y finalmente llega a cero. Y solo tira ese libro que está diciendo

K E - P E

$KE - PE$ ¡Es un error! Como dijo otro respondedor, siempre es

k mi + PAG mi ⟹ \frac{metro v^{2}}{2} + (- \frac{GRAMO METRO metro}{R})

$KE + PE \implies \dfrac{mv^2}{2} + (-\dfrac{GMm}{R})$ . ¡Es solo jugar con números!

Tiene sentido, pero la idea de energía potencial "negativa" todavía me inquieta. Debería tener energía potencial almacenada (en cuyo caso sería positiva), o no tiene nada (cero). Convertir 0 energía potencial en energía cinética significa que tendrías que tomar prestada energía de algo que ya es cero.
@1110101001: Trate de aclimatarse al hecho; Traté de escribirlo intuitivamente, pero lamento mucho si no te ayudó:\

linaje · Answer 5

Como explicó @David Z, la energía total E = energía cinética T + energía potencial V. Las expresiones para KE y PE luego se sustituyen por sus signos en esta ecuación.

teóricamente

Toda la mecánica tiene como punto de partida el lagrangiano que se ocupa de los potenciales. Considere cualquier energía potencial V de la forma (el potencial es solo V por unidad de carga)

V = \frac{k}{r} + C

$V=\frac{k}{r}+C$ donde k y C son constantes en r
El campo de fuerza asociado generado por este potencial es

\begin{aligned} mi & = - \nabla V \\ = - \nabla (\frac{k}{r} + C) \\ = \frac{k}{r^{2}} \hat{r} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{E}&=-\nabla{V}\\ &=-\nabla{(\frac{k}{r}+C)}\\ &=\frac{k}{r^2}\hat{r} \end{align}$

Ahora, para las fuentes que se atraen, la fuerza debe apuntar hacia la fuente ( $\hat{r}$ puntos de distancia), por lo que k debe ser negativo. Esta es la razón por la que todas las expresiones potenciales atractivas tienen signos -ve.

Pero espera un segundo... ¿significa esto que los PE atractivos son siempre negativos? No, porque puede elegir arbitrariamente una C, es decir, la condición límite para el potencial, no siempre tiene que ser $0$ en el infinito Por ej. dejar

V = \frac{- | k |}{r} + \frac{| k |}{r_{0}}

$V=\frac{-|k|}{r}+\frac{|k|}{r_{0}}$

Un objeto en este potencial atractivo tiene energía positiva más allá $r_{0}$ .

Entonces, el signo negativo del potencial es para complementar el hecho de que la fuerza es atractiva. Es negativo en todas partes debido a la " $0$ en $\infty$ " condición. (Si |k|= $G M_{earth}m_{test}$ y $r_{0}=R_{earth}$ , entonces esta V es aproximadamente $m_{test}g(r-R_{earth})$ que como saben es positivo sobre la superficie terrestre.

Cualitativamente

Cuando un objeto cae desde el reposo en el infinito hasta el punto r en el campo, gana la energía almacenada en el campo en forma de energía cinética incrementada. El campo, por otro lado, ha perdido esta cantidad de energía en la masa al trabajar para acelerarla desde el infinito hasta r. Dado que la energía en $\infty$ era $0$ ,las pérdidas aparecen como energía potencial de campo -ve en r.

arun cereza · Answer 6

como sabemos, la energía de un electrón aumenta a medida que se aleja del núcleo... eso significa que la energía potencial depende directamente de la distancia entre el electrón y el núcleo... pero cuando derivamos una expresión matemática obtenemos energía inversamente proporcional al radio... .para compensar diz, agregamos el signo MENOS para mostrar que menos energía negativa significa más energía

¿Está el electrón unido al átomo gravitacionalmente ? Si no, ¿cómo aborda esto la pregunta en cuestión?

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