¿Por qué la definición de masa inercial es circular? [duplicar]

Si confía en la segunda ley de Newton, la definición de masa resulta ser circular o muy intrincada, ya que también aparece allí la noción de fuerza (indefinida). Un mejor enfoque consiste en partir del hecho experimental de que se conserva la cantidad de movimiento . En una imagen muy teórica que puede tratar de la siguiente manera. Tienes un conjunto de cuerpos y ya sabes que hay un marco de referencia$I$tal que

todos esos cuerpos se mueven simultáneamente con velocidad constante en él si están lo suficientemente lejos entre sí (y lo suficientemente lejos de los otros cuerpos en el Universo).

Este marco de referencia se llama inercial . Su existencia es el primer postulado de la mecánica de Newton reformulado aquí en una visión más moderna.

Permanecer en reposo en$I$, otro hecho físico es el siguiente. Es posible asociar cada cuerpo con un número real estrictamente positivo$m$tal que, si un par de cuerpos están lo suficientemente cerca uno del otro como para que su movimiento muestre aceleración en$I$, Resulta que

$$m_1 \mathbf{v}_1(t) + m_2 \mathbf{v}_2(t) = \mathbf{\textrm{constant}} \tag{1}\:.$$

para cada$t\in \mathbb R$y para cada valor de$\mathbf{v}_j(t)$-- que no son constantes -- las velocidades alcanzadas en$I$durante la interacción de los cuerpos.

También resulta que (en la física clásica)

(a)$m_i$solo depende de la$i$-th cuerpo y no en el otro cuerpo, decir el$j$-ésima, que interactúa con la anterior.

(b) Si un número de cuerpos con masas$m_1,\ldots, m_N$formar un cuerpo único más grande con masa$M$, entonces$M= m_1+\ldots + m_N$.

Vale la pena notar que (1) puede explotarse teóricamente para medir el valor de las masas con respecto a la masa de un cuerpo de referencia dado, utilizado como unidad$m_1=1$. Midiendo las velocidades de este cuerpo de referencia y del otro cuerpo en dos momentos diferentes, tenemos

$$\mathbf{v}_1(t) + m_2 \mathbf{v}_2(t) = \mathbf{v}_1(t') + m_2 \mathbf{v}_2(t') \tag{2}$$ y por lo tanto $$\mathbf{v}_1(t) - \mathbf{v}_1(t') = m_2 (\mathbf{v}_2(t') - \mathbf{v}_2(t)) \:.$$ como $\mathbf{v}_2(t') - \mathbf{v}_2(t) \neq \mathbf{0}$para alguna elección de $t$y $t'$(porque los cuerpos aceleran por hipótesis), hay a lo sumo una constante $m_2$satisfactorio (2). ¡El hecho de que exista es muy sorprendente en realidad!

Sin embargo, creo que ambas respuestas son de naturaleza circular, ya que Newton no derivó la masa$m$en términos de fuerza$F$, derivó$F$en términos de$m$.

La segunda ley de Newton no "deriva$F$en términos de$m$"; establece si la fuerza que actúa sobre el cuerpo$\mathbf F$, masa del cuerpo$m$y aceleracion del cuerpo$\mathbf a$se determinan de forma independiente , siempre obedecen a la relación

$$\mathbf F=km\mathbf a.$$

dónde$k$es un número que depende de la elección de las unidades pero por lo demás constante en todas las situaciones. Más tarde, se definió la unidad de fuerza, Newton, para simplificar esto en

$$\mathbf F=m\mathbf a.$$

Ninguna de las tres cantidades está definida por la segunda ley, porque eso significaría que no hay ley, solo una definición.

La masa inercial$m_{inertial}$sin embargo, está definida por la ecuación

$$\mathbf F = m_{inertial} \mathbf a.$$

$m_{inertial}$no es necesariamente constante según esta definición; es posible que cambie de valor dependiendo de$\mathbf F,\mathbf a$u otras cosas. Sin embargo, para velocidades suficientemente bajas,$m_{inertial}$es proporcional a$m$.

Pero ahora, cuando vuelvo a pensar en esto, me pregunto cómo calculó la "masa". Para determinar experimentalmente que se conserva la cantidad de movimiento, debe conocer los valores de la masa$m$. E incluso si usó una balanza o una máquina de pesar de algún tipo, ¿cómo pudo calcular$m$de$F$, incluso cuando$F$¿Aún no está definido?

Para determinar la masa, uno no necesita conocer la definición o el valor de la fuerza. Es posible determinar la masa de un cuerpo como el número que cuantifica la cantidad de materia en el cuerpo en términos de una cantidad estándar de materia. Por ejemplo, un cuerpo formado por 2 bolsas de arena tiene una masa de 2 en unidades de bolsa de arena. O se puede medir la masa en función de la deformación de un resorte de pesaje.

Mi respuesta se inclina hacia la de Jan Lalinsky. No está muy claro cuál es el estatus histórico de la fuerza con respecto a la masa.$m$de un objeto en la segunda ley. Unos dicen que es tautológico y otros que es contingente.

Afortunadamente, no necesitamos responder esa pregunta aquí para obtener información sobre lo que Newton pudo haber tenido en mente cuando hablaba de masas.

En primer lugar, primero debemos reconocer que Newton hizo un gran esfuerzo para hacer que sus 3 axiomas fundamentales (ahora llamados leyes de Newton) fueran consistentes y cerrados.

También es importante apreciar, como trataré de mostrar, que la síntesis de Newton estaba recopilando conocimientos de observaciones tanto dinámicas (de Galileo y Descartes, por ejemplo) como estáticas que, de hecho, habían estado ocurriendo durante años solo con el propósito de intercambiar. de bienes, arquitectura etc...

Si lees la segunda ley de la traducción al inglés de sus Principia , básicamente dice que:

Ley 2: La alteración del movimiento es siempre proporcional a la fuerza motriz impresa; y se hace en la dirección de la línea derecha en la que se imprime esa fuerza

es decir, en un marco de referencia inercial (único marco en el que la noción de "fuerza motriz impresa" tiene sentido según Newton) tenemos$a \propto F$. Por supuesto, en esa etapa tampoco$F$ni el factor de proporcionalidad son conocidos; pero si uno llega a ser conocido, entonces el otro sigue.

Creo que nada en las 3 leyes de Newton obliga realmente al factor de proporcionalidad a ser exactamente la masa tal como la conocemos. De hecho, como dijo Jan Lalinsky, solo necesitamos nombrar al prefactor "masa inercial"$m_I$y la combinación de las 3 leyes de Newton dará que el estado de movimiento del centro de masa (inercial) de cualquier sistema de puntos en ausencia de fuerzas externas sigue un movimiento en línea recta a velocidad constante (que es equivalente a la conservación de la masa total cantidad de movimiento lineal... y esto es cierto independientemente de las distancias entre los puntos del sistema).

Tal proposición ya la había hecho Descartes, por ejemplo, pero había postulado que la masa inercial correspondería al volumen del cuerpo sobre la base de que las leyes de la Naturaleza deberían ser explicables solo con el espacio y el tiempo. Esto resultó ser incorrecto y un nuevo concepto fundamental tuvo que entrar en escena.

Para ver esto, simplemente podemos reconocer que la Tierra está tirando de un objeto a través de una fuerza motriz hacia abajo llamada peso y con el símbolo$W$.

Suponiendo que el marco terrestre es inercial, podemos inferir que$m_I a = W$.

Ahora, podemos aplicar, como hizo Newton, la observación de Galileo de que

Siempre que se pueda despreciar la fricción del aire, todos los cuerpos observados desde un marco terrestre$T$caen con la misma aceleración constante de magnitud$g$hacia el suelo

La única conclusión posible es que$W = m_I g$, dónde$g$es el mismo para todos los cuerpos.

Por lo tanto, existe una relación directa entre el peso de un objeto y su masa de inercia. Esto permite medir masas relativas a través de experimentos estáticos invocando la segunda ley de Newton y así es como se miden las masas hoy en día.

Me parece imposible hablar de masas, en el contexto newtoniano, sin invocar la estática y la gravedad. Uno puede hacerlo como lo hice anteriormente confiando en la observación práctica de Galileo o postulando una ley universal adicional; que es lo que hizo Newton con su ley Universal de la gravedad.

Esto es importante porque la gran síntesis de Newton tiene sentido, en la práctica, sólo cuando sus tres leyes se combinan con su ley universal de la gravedad. De hecho, tentativamente trató de demostrar que si la masa gravitatoria de un objeto no era proporcional a su masa inercial, entonces se perdería la autoconsistencia de su teoría.