¿Las "leyes" de Newton del movimiento son leyes o definiciones de fuerza y ​​masa?

En mi opinión, las declaraciones estándar de las leyes de Newton suelen ser demasiado concisas, y esta falta de detalles provoca confusión sobre qué es una definición y qué es un hecho empírico. Para evitar esta confusión, procedamos de una manera sistemática que aclare las distinciones entre estas definiciones y los enunciados empíricos.

Lo que sigue ciertamente no es la declaración original de las leyes hecha por el propio Newton; es una interpretación moderna destinada a aclarar los fundamentos de la mecánica newtoniana. Como resultado, las leyes se presentarán desordenadas en aras de la claridad lógica.

Para empezar, observamos que las definiciones de masa y fuerza dadas a continuación requerirán el concepto de un marco inercial local . Estos son marcos de referencia en los que cuando un objeto está aislado de toda otra materia, su aceleración local es cero. Es un hecho empírico que dichos marcos existen, y tomaremos esto como la primera ley:

Primera Ley. Existen marcos de referencia inerciales locales.

¿Cómo se relaciona esto de alguna manera con la primera ley que conocemos y amamos? Bueno, como suele decirse, básicamente dice "si un objeto no está interactuando con nada, entonces no se acelerará". Por supuesto, esto no es del todo correcto ya que hay marcos de referencia (no inerciales) en los que se rompe esta afirmación. Entonces podría decir, está bien, todo lo que tenemos que hacer entonces es calificar este enunciado de la primera ley diciendo " siempre y cuandoestamos haciendo observaciones en un marco inercial, un objeto que no interactúa con nada no acelerará", pero uno podría objetar que esto simplemente se deriva de la definición de marcos inerciales, por lo que no tiene contenido físico. Sin embargo, yendo un paso más allá, vemos que no está del todo claro a priori que los marcos inerciales existan, por lo que la afirmación de que existen tiene un contenido físico (profundo). De hecho, me parece que esta afirmación de existencia es una especie de esencia de cómo debe pensarse la primera ley porque básicamente dice que existen estos marcos especiales en el mundo real, y si está observando un objeto aislado en uno de estos marcos, entonces no acelerará tal como dice Newton.Esta versión de la primera ley también evita la crítica habitual de que la primera ley se sigue trivialmente de la segunda ley.

Equipados con la primera ley como se indicó anteriormente, ahora podemos definir la masa. Al hacerlo, encontraremos útil tener otro hecho físico.

Tercera Ley. Si dos objetos, suficientemente aislados de las interacciones con otros objetos, se observan en un marco inercial local, entonces sus aceleraciones serán de dirección opuesta y la relación de sus aceleraciones será constante.

¿Cómo se relaciona esto con el enunciado habitual de la tercera ley? Bueno, pensando un poco en "meta" aquí para usar términos que aún no hemos definido, tenga en cuenta que la forma en que generalmente se establece la tercera ley es "cuando los objetos interactúan en un marco de inercia, ejercen fuerzas entre sí que son iguales en magnitud, pero de dirección opuesta". Si acoplas esto con la segunda ley, entonces obtienes que el producto de sus respectivas masas y aceleraciones son iguales hasta el signo;$m_1\mathbf a_1 = -m_2\mathbf a_2$. El enunciado de la tercera ley que se da en este tratamiento es equivalente a esto, pero es solo una forma de decirlo que evita referirse a los conceptos de fuerza y ​​masa que aún no hemos definido.

Ahora, usamos la tercera ley para definir la masa. Deja que dos objetos$O_0$y$O_1$dado, y supongamos que están siendo observados desde un marco inercial local. Por la tercera ley anterior, la relación de sus aceleraciones es una constante$c_{01}$;

$$\begin{align} \frac{a_0}{a_1} = c_{01} \end{align}$$ Definimos objeto$O_0$tener masa$m_0$(cualquier valor que deseemos, como 1 por ejemplo si queremos que el objeto de referencia sea nuestra unidad de masa), y definimos la masa de$O_1$ser - estar $$\begin{align} m_1=-c_{01}m_0 \end{align}$$ De esta manera, la masa de cada objeto se define en términos de la masa de referencia.

Ahora estamos listos para definir la fuerza. Supongamos que observamos un objeto$O$de masa$m$de un marco inercial local, y supongamos que no está aislado; está expuesto a alguna interacción$I$a la que nos gustaría asociar una "fuerza". Observamos que en presencia de sólo esta interacción, la masa$m$acelera, y definimos la fuerza$\mathbf F_{I}$ejercido por$I$en$O$ser el producto de la masa del objeto y su aceleración observada$\mathbf a$;

$$\begin{align} \mathbf F_{I} \equiv m\mathbf a \end{align}$$ En otras palabras, estamos definiendo la fuerza ejercida por una sola interacción$I$en algún objeto de masa$m$como la masa por la aceleración que tendría un objeto dado si estuviera expuesto solo a esa interacción en un marco de inercia local.

Segunda Ley. Si un objeto$O$de masa$m$en un marco inercial local experimenta simultáneamente interacciones$I_1, \dots, I_N$, y si$\mathbf F_{I_i}$es la fuerza que se ejercería sobre$O$por$I_i$si fuera la única interacción, entonces la aceleración$\mathbf a$de$O$satisfará la siguiente ecuación:

$$\begin{align} \mathbf F_{I_1} + \cdots +\mathbf F_{I_N} = m \mathbf a \end{align}$$

La respuesta de joshphysics es excelente, y un ordenamiento lógico de conceptos perfectamente bueno, en el que la fuerza se define en términos de masa. Personalmente, prefiero un ordenamiento lógico ligeramente diferente (que, por supuesto, termina siendo equivalente), en el que la masa se define en términos de fuerza:

Primera ley : Existen marcos de referencia inerciales locales.

No puedo mejorar la excelente explicación de joshphysics aquí.

Segunda ley : La masa de todo objeto existe y es independiente de la fuerza que se le aplica.

Definimos una "fuerza"$F_i$ser una influencia física que surge de una configuración experimental repetible. ($i$es solo una etiqueta, no un componente vectorial). Por ejemplo, podríamos considerar una sola banda elástica, estirada en una cantidad fija, a la que conectamos una serie de diferentes "objetos de prueba". Esto define una fuerza$F_1$que no es una cantidad vectorial (de ahí la falta de negrita), sino una etiqueta para una configuración experimental particular. O podríamos considerar la atracción gravitatoria$F_2$de Júpiter en varios "objetos de prueba" cuando se encuentra en una ubicación y distancia particular en relación con el objeto de prueba. una fuerza dada$F_i$actuando sobre un objeto de prueba dado$o_j$le impartirá un vector de aceleración medible${\bf a}(F_i, o_j)$.

Ahora encontramos tres resultados empíricos no triviales:

(i) Si las fuerzas$F_1$y$F_2$inducir aceleraciones${\bf a}_1$y${\bf a}_2$en un objeto cuando se aplican individualmente, entonces inducen la aceleración${\bf a}_1 + {\bf a}_2$en el objeto cuando se aplica simultáneamente.

(ii) Una fuerza dada$F_i$acelera todos los objetos de prueba en la misma dirección (aunque con diferentes magnitudes). En otras palabras,

$${\bf a}(F_i, o_j) \parallel {\bf a}(F_i, o_{j'})$$ para todos $i$, $j$, y $j'$.

(iii) Supongamos que tenemos dos fuerzas diferentes$F_1$y$F_2$(por ejemplo, dos bandas de goma de diferente rigidez) y dos objetos de prueba diferentes$o_A$y$o_B$. Siempre se cumple la siguiente igualdad :

$$\frac{|{\bf a}(F_1, o_A)|}{|{\bf a}(F_1, o_B)|} = \frac{|{\bf a}(F_2, o_A)|}{|{\bf a}(F_2, o_B)|}.$$

Esto sugiere una forma natural de cuantificar sistemáticamente los efectos de las diversas fuerzas. Primero tome un objeto de prueba en particular$O$y asignarle una cantidad escalar arbitraria$m_O$llama su "masa". No se preocupe por el significado físico de esta cantidad todavía. Tenga en cuenta que solo este objeto en particular tiene una "masa" bien definida en esta etapa. Ahora aplica todas tus diferentes fuerzas al objeto.$O$. cada fuerza$F_i$inducirá cierta aceleración${\bf a}(F_i, O)$en$O$. Ahora asigna a cada fuerza$F_i$una cantidad vectorial

$${\bf F}_i := m_O\, {\bf a}(F_i, O)$$ que "graba" su acción en el objeto de prueba $O$. Tenga en cuenta que la segunda ley de Newton es trivialmente cierta solo para el objeto de prueba en particular $O$. También tenga en cuenta que cambiando el valor de $m_O$simplemente dilata todos los vectores de fuerza en la misma cantidad, por lo que también podría elegir unidades de masa en las que tenga el valor numérico de $1$. La observación empírica (ii) anterior ahora se puede reformular como

(ii') Para todas las fuerzas$F_i$y objetos de prueba$o_j$,

$${\bf F}_i \parallel {\bf a}(F_i, o_j).$$

Por lo tanto, podemos definir una cantidad escalar$m_{(i,j)}$, que depende tanto de la fuerza aplicada como del objeto de prueba, tal que

$${\bf F}_i = m_{(i,j)} {\bf a}(F_i, o_j).$$

Esto justifica la primera afirmación de la Segunda Ley, que la masa de cada objeto existe. Recuerde de la definición del vector fuerza que

$$m_O {\bf a}(F_i, O) = m_{(i,j)} {\bf a}(F_i, o_j),$$ entonces solo la proporción $m_{(i,j)} / m_O$es físicamente medible, como se mencionó anteriormente.

si dejamos$o_B$ser el objeto de prueba$O$, entonces la observación empírica (iii) anterior se puede reorganizar para$m_{(1,A)} = m_{(2,A)}$para todos los objetos de prueba$o_A$, lo que justifica la segunda afirmación de la Segunda Ley de que la masa de un objeto no depende de la fuerza externa que se le aplica.

Finalmente, los hechos de que (a) las aceleraciones inducidas se suman como vectores y (b) la masa de un objeto no depende de la fuerza aplicada, juntos implican que las fuerzas aplicadas también se suman como vectores.

Tercera ley : cuando un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, el segundo objeto ejerce simultáneamente una fuerza de igual magnitud y dirección opuesta sobre el primer objeto.

Ya definimos el vector fuerza${\bf F}$anterior, por lo que esta es claramente una observación empírica no trivial en lugar de una definición.

Para comprender cuáles son realmente las tres leyes de Newton, es necesario considerar la noción de cantidad de movimiento. Impulso$\vec{p}$de una partícula puntual es el producto de su masa$m$(que se definirá implícitamente más adelante) y su velocidad instantánea$\vec{V}$, asi que$\vec{p}:=m\vec{V}$. También,$m \in \mathbb{R}_+$unidades de masa y$m:=const$(las razones son para que$m$caracteriza una partícula y no hace vectores$\vec{V}$y$\vec{p}$apuntar en direcciones diferentes). También se necesita considerar la Ley de Conservación de un Momento Lineal, que es la consecuencia de la simetría de traslación del espacio (contrariamente a la creencia popular de que es la consecuencia de las Leyes de Newton).

Ahora, hablemos de las Leyes de Newton:

Primera y tercera ley de Newton : consecuencia de la Ley de Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal, nada más.

La segunda ley de Newton : una definición de una fuerza,$\sum \vec{F}:=\dot{\vec{p}}$(que también produce el familiar$\sum \vec{F}=m\vec{a}$)

Observación : puede surgir una pregunta sobre la medición de masas de partículas puntuales, así que aquí está la respuesta. Considere un sistema de dos partículas puntuales que se mueven a lo largo de la$x$-eje uno hacia el otro. La Ley de Conservación del Momento Lineal establece:

$$\begin{align}m_1 \left |\vec{V}_{11} \right | - m_2 \left |\vec{V}_{21} \right | = m_2 \left |\vec{V}_{22} \right |-m_1 \left |\vec{V}_{12} \right |\end{align}$$

Definición$m_1$, por ejemplo, para ser igual a una unidad de masa, es posible calcular$m_2$(medir los valores de las velocidades de las partículas antes y después de la colisión es un procedimiento estándar que se puede llevar a cabo).

En primer lugar, quiero decir que encuentro excelente su pregunta. Es muy importante, para cualquiera que quiera llamarse físico, saber la respuesta a su pregunta.

TODA CANTIDAD FÍSICA debe definirse mediante operaciones de medición O mediante relaciones matemáticas con otras cantidades físicas que ya están definidas mediante operaciones de medición. Es decir, debemos saber cómo medir una cantidad física (directa o indirectamente).

Por ejemplo, definimos la velocidad como la derivada temporal del vector de posición, y esto tiene sentido solo si sabemos cómo medir el tiempo y la longitud.

El tiempo se "define" como la medida de un reloj específico (que tiene algunas propiedades específicas en todos los sentidos, independientemente del tiempo; no podemos decir que nuestro reloj específico, que queremos usar como instrumento para medir el tiempo, debe tener propiedades de tictac después del mismo intervalo de TIEMPO ) ). Llamamos a un tic de nuestro reloj específico un segundo. Luego, la duración de algún proceso que estamos observando se mide contando el tictac de nuestro reloj. N tictac significa que el proceso duró N segundos. Por supuesto, si ese proceso no ocurrió en el mismo lugar, debemos usar más de uno mismo (es decir, que tengan las mismas propiedades)reloj especifico. Debemos usar dos relojes, pero luego los relojes deben estar sincronizados (mediante algún procedimiento definido, por ejemplo, usando señales luminosas). Solo quiero agregar que lo que dije no significa que cada laboratorio deba tener los mismos relojes específicos. Acabamos de definir el tiempo de esa manera. Una vez que lo hemos hecho, usamos otro reloj y lo comparamos con nuestro reloj específico. Si su tictac coincide, también podemos usar otro reloj para medir el tiempo y así sucesivamente.

La longitud se define de manera similar. Tomamos un palo al que llamamos de un metro. Ese palo no puede tener propiedades de longitud constante (es decir, rígido) porque queremos definir la longitud usando ese palo (no queremos definiciones circulares), entonces queremos que nuestro palo tenga algunas propiedades específicas independientes de la longitud (queremos que sea a la misma presión, temperatura, etc.). Entonces, la longitud de algún objeto es cuánto tenemos nuestros palos específicos entre los puntos finales de ese objeto (debemos saber cómo unimos nuestros palos entre sí, es decir, qué es una línea recta y también debemos saber simultáneamente dónde están los puntos finales, pero yo lo sé no quiero hablar más sobre el espacio-tiempo). Supongamos que tenemos N palos, decimos que la longitud es N metros de largo.

LAS LEYES DE LA FÍSICA son relaciones matemáticas entre cantidades físicas y las descubrimos por el método de las observaciones (empíricamente). La ley es correcta si nuestro experimento así lo dice. Si no puedo verificar experimentalmente (descuido aquí los problemas de tecnología) algún enunciado matemático, entonces ese enunciado no es más que una expresión matemática, no es una ley física.

Entonces, la masa, como cantidad física, se define a través de la medición. Tenemos una balanza específica y un objeto específico que llamamos un kilogramo. Ponemos otro objeto que queremos medir en un plato de la balanza y contamos cuánto debemos poner nuestros objetos específicos en el otro plato para que la balanza esté equilibrada. Contamos N, por lo que nuestro objeto tiene una masa de N kilogramos. Podemos comprobar que la masa es una cantidad aditiva, es decir, si ponemos dos objetos iguales, vemos que la masa es de 2N kilogramos, etc. Podemos medir la masa usando diferentes aparatos siempre que den el mismo resultado que nuestro primer dispositivo (que usamos para la definición de masa).

La misma historia se aplica cuando queremos medir la fuerza. Definimos un Newton, el procedimiento de medición, etc. Comprobamos que la fuerza es un vector, encontramos otras formas de medir la fuerza (solo necesitan coincidir con nuestra primera forma).

El momento se define como el producto de la masa y la velocidad y se mide indirectamente.

Ahora que sabemos cómo se miden la masa y la fuerza, podemos explorar más a fondo sus propiedades, es decir, ahora podemos buscar alguna ley (relaciones matemáticas) que conecte las cantidades de masa y fuerza. Y descubrimos a través de las observaciones que F = m a y ahora podemos interpretar la masa como medida de la inercia del cuerpo y la fuerza como cuánto empujaríamos o halamos un cuerpo, pero esa no es la definición de masa y fuerza. Si definimos la fuerza como F=ma , entonces esta relación no es una ley física y aún no sabemos nada sobre la fuerza, excepto que se calcula como el producto de la masa y la aceleración. Por supuesto, definimos masa y fuerza para que estuvieran relacionadas de alguna manera porque experimentamos esta ley de Newton a diario y ya conocemos algunas propiedades que queremos que tengan la fuerza y ​​la masa.

"El desarrollo de la física es progresivo y, a medida que se cristalizan las teorías del mundo externo, a menudo tendemos a reemplazar las cantidades físicas elementales definidas a través de operaciones de medición por cantidades teóricas que se cree que tienen un significado más fundamental en el mundo externo. Así, la vis viva m v ​​v, que es inmediatamente determinable mediante el experimento, se reemplaza por una energía generalizada, virtualmente definida por tener una propiedad de conservación; y nuestro problema se invierte: no tenemos que descubrir las propiedades de las cosas que hemos reconocido en la naturaleza, sino descubrir cómo reconocer en la naturaleza una cosa cuyas propiedades le hemos asignado”. - Arthur Stanley Eddington - Teoría matemática de la relatividad

La conservación de la cantidad de movimiento entonces se vuelve demostrable experimentalmente. Si definimos la masa a través de la conservación de la cantidad de movimiento (mediante la medición de la relación de aceleraciones de dos cuerpos aislados y llamando a un cuerpo 1 kg), entonces no podemos verificar si la conservación de la cantidad de movimiento es verdadera, porque no sería una ley, sino una definición de masa. .

¡LAS LEYES DE NEWTON SON LEYES!

La primera ley de Newton es la más complicada, porque es difícil saber si nuestro sistema realmente es inercial o no (la teoría general de la relatividad explica muy bien este problema). Pero podemos, como hizo originalmente Newton, decir que las estrellas distantes son un sistema inercial y todo sistema en movimiento uniforme relativo a ellas también es inercial y la segunda y la tercera ley son correctas en ellas.

La respuesta de "joshphysics" es lógicamente precisa, pero físicamente incorrecta.

Creo que la respuesta de Joshphysics es muy buena. En particular, la afirmación de que afirmar la existencia es un elemento clave.

La idea es reafirmar las leyes del movimiento de tal manera que la cuestión de la ley frente a la cuestión de la definición se vuelva más clara.
En analogía con la termodinámica, enunciaré una 'ley cero'; una ley que antecede a la 'Primera ley' histórica.
Al igual que con la respuesta de Joshphysics, el siguiente tratamiento es para el dominio newtoniano.

Ley cero :
(Afirmación de existencia)
Existe oposición al cambio de la velocidad de un objeto. Esta oposición al cambio de velocidad se llama 'inercia'.

Primera ley :
(La ley de uniformidad)
La oposición al cambio de velocidad es uniforme en todas las posiciones en el espacio y en todas las direcciones espaciales.

Segunda ley :
(La ley de la aceleración)
El cambio de velocidad es proporcional a la fuerza ejercida e inversamente proporcional a la masa.

Las declaraciones anteriores no son definiciones.
A modo de comparación, el punto cero de la escala Celsius es una definición; es intercambiable con otra definición de punto cero de la escala de temperatura. Las leyes del movimiento no son intercambiables por otros enunciados.

El concepto de fuerza también es aplicable en estática, por lo tanto, la Fuerza también se puede definir en el contexto de un caso estático (compresión), y luego verificamos la coherencia con la Fuerza definida en términos de dinámica. Como sabemos: encontramos coherencia.

Para la masa las cosas son más interesantes. De hecho, la masa está definida por las leyes del movimiento. Ejemplo trivial: si usaras el volumen de un objeto como medida de su masa, la segunda ley no se aplicaría universalmente. Es la ley del movimiento la que señala cuál es la masa de un objeto: precisamente esa propiedad para la cual se cumple la segunda ley.

La lección es que si insistieras en que cualquier declaración es una ley física o una definición, te atascarías por completo.

Nuestras leyes físicas son ambas cosas : son declaraciones sobre propiedades inherentes de la naturaleza y definen los conceptos para los que las leyes son válidas.

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Observaciones adicionales :

La primera y la segunda ley juntas son suficientes para implicar la tercera ley histórica. Esto se puede reconocer de la siguiente manera:

Deje que el objeto A y el objeto B estén flotando en el espacio, sin estar unidos a ninguna masa más grande.
Desde un punto de vista abstracto se podría argumentar: hay una diferencia entre:
Caso 1: el objeto A ejerce una fuerza sobre el objeto B, pero B no sobre A
Caso 2: el objeto A y el objeto B ejercen una fuerza entre sí.
De acuerdo con las leyes del movimiento, la distinción anterior es discutible. Desde el punto de vista de la observación, los dos casos son idénticos, lo que hace que no tenga sentido distinguirlos en un nivel abstracto.

Supongamos por el bien del argumento que el objeto A ejerce una fuerza de atracción sobre el objeto B, pero B no sobre A. Tanto A como B están flotando en el espacio. La palanca que tiene el objeto A para tirar del objeto B hacia sí mismo es la propia inercia de A. A no tiene otro apalancamiento, A no está unido a ninguna masa mayor. A puede acercar a B a sí mismo si y solo si A está acelerando hacia B. No hay escenario, no hay observación, donde el Caso 1 y el Caso 2 sean distinguibles, por lo tanto, el Caso 1 y el Caso 2 deben considerarse como uno y el mismo. caso.

La primera ley y la segunda ley juntas son suficientes para implicar la superposición de fuerzas.

La Ley de Newton se suman a las leyes de la fuerza y ​​la masa.

Según la ley de masa de Newton, los cambios de masa son causados ​​en proporción a los cambios de densidad y cambios en la cantidad de materia (esto podría parafrasearse demasiado mal).

Leyes de fuerza (hay muchas, unas para la gravedad, otras para los resortes, etc.)

La tercera ley de movimiento de Newton restringe las leyes de fuerza que considera (efectivamente, solo usa / considera leyes de fuerza que conservan el impulso).

La segunda ley de movimiento de Newton convierte estas leyes de fuerza en predicciones sobre el movimiento, lo que permite probar las leyes de fuerza, no solo eliminarlas por violar la conservación del momento. Esto funciona porque él postula que podemos probar las leyes de fuerza usando cálculo y luego observando la predicción de las soluciones a las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

La primera ley del movimiento de Newton excluye entonces ciertas soluciones que permitía la segunda ley. No digo que históricamente Newton supiera esto, pero es posible (ver No unicidad en las soluciones de la ecuación de movimiento de Newton por Abhishek Dhar Am. J. Phys. 61, 58 (1993); http://dx.doi. org/10.1119/1.17411 ) para tener soluciones a F=ma que violen la primera ley de Newton. Entonces, agregar la primera ley dice que descartemos esas soluciones.

En resumen: la tercera ley restringe las fuerzas a considerar, la segunda hace predicciones para que pueda probar las leyes de fuerza, y la primera restringe las (¿demasiadas?) soluciones que permite la segunda ley. Todos tienen un propósito, todos hacen algo.

Y primero debe tener leyes de masa y / o leyes de fuerzas antes de que cualquiera de las leyes de movimiento de Newton signifique algo.