¿Por qué este sistema es estable?

Me dieron el sistema definido por la función de transferencia de bucle abierto:

L ( s ) = 5 ( s 2 + 1.4 s + 1 ) ( s − 1 ) 2

Me dijeron que usara el criterio de Nyquist para determinar la estabilidad. El examen del gráfico de Nyquist muestra un cerco CCW del punto (-1,0). El sistema de lazo abierto tiene dos polos RHP (aunque son polos repetidos). Usando la ecuación:

Z = norte + PAG

Donde N=-1 y P=2, vemos Z=1. Esto significa que debería haber 1 polo RHP en la función de transferencia de bucle cerrado y esperaríamos que el sistema fuera inestable. Sin embargo, tras la inspección de la respuesta al impulso y la respuesta al escalón, el sistema parece estable. Me cuesta entender por qué este sistema no es inestable. Mi pensamiento inicial es que el polo repetido en s = 1 solo debe contarse una vez, pero no he podido encontrar ninguna literatura que sugiera esto.

¿Cuál es la ganancia cuando el cambio de fase es de -180 grados?
El denominador de lazo cerrado es de segundo orden y no tiene coeficientes negativos, por lo que debe ser estable. Lo que sucede es que los ceros en lazo abierto están arrastrando los polos en lazo abierto hacia el semiplano izquierdo.
Estoy confundido. Hasta ahora, todo lo que puedo decir es que su intuición de multiplicidad está refutada por alguna literatura. De Astrom Murray: "Los polos y ceros de m multiplicidad se cuentan m veces".

Respuestas (2)

De hecho, estás rodeando el punto -1 dos veces. Su parcela de Nyquist se superpone a dos cercos. Si intenta aplicar el criterio de Nyquist a

L ( s ) = 5 ( s 2 + 1.4 + 1 ) ( s − 1 ) ( s − 0.99 )

Verá que lo que parecía un solo cerco era en realidad la convergencia de dos trayectorias. Por lo tanto, N=-2 y Z=0 como se suponía que era.

No he hecho algo como esto en más de un año, pero aquí está mi respuesta simple:

No está permitido usar Nyquist en esta situación. El numerador y el denominador comparten el mismo grado polinomial, por lo que no se puede aplicar el criterio de Nyquist.

Esto debe ser cierto porque el sistema de lazo abierto debe tender a una amplitud de cero para frecuencias altas.

Si observa el diagrama de Bode, la amplitud sube y no baja.

Espero que esto ayude.

El criterio de Nyquist se basa en el principio del argumento de Cauchy. Hasta donde yo sé, el único requisito es que la función debe ser holomorfa (compleja diferenciable) en todas partes excepto en los polos. No hay ningún requisito para que la función esté acotada.
No puedo encontrar nada específico en los sitios web en inglés. Cuando lo busco en sitios web alemanes (que es mi lengua materna) encuentro varios sitios donde se nota que el criterio de Nyquist solo se puede aplicar si la amplitud tiende a cero para frecuencias altas.
He estado buscando fuentes para su punto pero no pude encontrarlas. ¿Puedes compartir uno bueno, aunque sea en alemán? Sin embargo, tenga cuidado con los foros y los sitios web técnicos. A veces difunden leyendas urbanas.
En el enlace del artículo de Wikipedia en alemán en el capítulo Grundlagen; última frase. También en este documento del enlace EHT Zurich en la página siete.
Interesante. Acabo de mirar a través de Ogata y Astrom Murray , pero no encontré ningún rastro de ese requisito previo. Sin embargo, no vi ningún ejemplo que usara funciones de transferencia no adecuadas. Se supone que L(s) es la función de lazo abierto de un sistema de retroalimentación. En general, se podría asumir silenciosamente que es correcto, pero me parecería extraño que no se establezca en los supuestos del teorema. Así que estoy desconcertado, una vez más.
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