¿Por qué este medidor de ondas usa 333 espejos para encender la luz 180∘180∘180^\circ en lugar de solo 222?

Encontré el documento que presenta ese diagrama, por lo que la conclusión de esta respuesta se basa en gran medida en las afirmaciones hechas en ese documento.

Fox, PJ, et al. Un medidor de ondas Michelson confiable, compacto y de bajo costo para la medición de longitudes de onda láser. Soy. J. física. 67 , 624 (1999) .

Las versiones gratuitas del pdf del artículo están disponibles en INIS y ResearchGate .

Esto es un poco largo, y gran parte es sólo un trasfondo de lo que está pasando en ese interferómetro. La respuesta exacta al título de la pregunta se describe en las dos últimas secciones.

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Aquí está la imagen de la pregunta de nuevo:

Primero, una breve descripción del propósito y funcionamiento de este medidor de ondas: mide la longitud de onda del haz proveniente del lugar etiquetado como "desconocido".

El funcionamiento se basa en los principios del interferómetro de Michelson (piense en el experimento de Michelson-Morley que demostró que el viento etéreo no existía... algo similar, el mismo tipo), y el diseño se tomó prestado en gran medida de un sistema publicado por Hall. y Lee, que se puede encontrar aquí en una referencia citada por Fox et al.,

Hall, JL y SA Lee. Visualización interferométrica en tiempo real de la longitud de onda del láser de colorante Cw con precisión Sub-Doppler. aplicación física Letón. 29 , 367 (1976) .

(Curiosamente, el interferómetro en ese documento no usa 3 espejos: usa 2, según el esquema. Pero esa no es una representación de la construcción real)

Simplificando un poco, los interferómetros de Michelson detectan la longitud de onda de una onda electromagnética al observar el patrón de interferencia del haz con una versión reflejada (por lo tanto, desfasada) de sí mismo. Imagine un arreglo similar a LIGO.

Hay 2 brazos perpendiculares, cada uno con un reflector en el extremo, un espejo medio plateado en la intersección y fuentes/detectores en los otros extremos de los brazos. Excepto en los interferómetros, cambiamos manualmente las longitudes de los brazos y observamos el cambio en el patrón de interferencia. La definición de 'longitud del brazo' se vuelve un poco más complicada en este interferómetro en particular que en los interferómetros clásicos de Michelson. Pero eso es solo una suma geométrica de longitudes, así que llegaré a eso en un momento.

De todos modos, cambiar la longitud efectiva del brazo conduce a un cambio en la diferencia de fase entre los dos haces. Un poco de geometría simple y análisis de la superposición nos dice que el número de franjas$n$que cruzan un punto dado dentro del área del lugar (un buen video de esto, con una explicación adjunta está aquí ) para un cambio en la longitud del brazo de$\Delta L$es$\frac{2\Delta L}{\lambda}$. Consideremos 2 láseres siguiendo el mismo camino, uno de los cuales tiene una longitud de onda conocida. Subíndiceremos las propiedades de esa longitud de onda conocida con$R$, que significa 'referencia'. Es matemática fácil otra vez... creando versiones separadas de la ecuación antes mencionada para la longitud de onda desconocida y la de referencia, vemos

$$\lambda = \frac{n_R}{n}\lambda_R$$ Por lo tanto, nuestro interferómetro debe medir el número de franjas tanto para la longitud de onda conocida como para la longitud de onda desconocida en las mismas condiciones y luego tenemos nuestra medida.

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La primera diferencia entre el interferómetro de esta imagen y el interferómetro clásico de Michelson es el método en el que se manipulan las longitudes de los brazos.

En el diagrama, hay 2 componentes etiquetados$CC1$y$CC2$. Esos son reflectores de cubo de esquina y esencialmente reflejan la luz paralela al haz incidente. Trate de seguir el haz que viaja hacia$CC1$de$M2$(es el superior de ese par), y verá que se refleja dos veces en 2 superficies antes de viajar de regreso. (Los reflectores Cornercube en realidad también tienen algunas cosas interesantes sobre su funcionalidad).$CC2$hace algo similar con el haz incidente de$M5$.$CC1$y$CC2$se fijan juntos en un carro que se puede deslizar en una pista entre$M2$y$M5$.

Repasemos el diagrama ahora... Hay 2 fuentes de luz obvias, y luego hay un divisor de haz/espejo medio plateado, etiquetado como BS. Las áreas marcadas$N_U$y$N_R$son los lugares donde observas tus patrones de interferencia. Si examina el diagrama, podrá convencerse de que mover el carro por la vía acorta simultáneamente un brazo y alarga el otro. Esto le permite hacer que todo el sistema sea compacto en comparación con un caso en el que solo se puede ajustar la longitud de un brazo.

Ignore temporalmente lo que sucede con la fuente de luz desconocida e imagine que enciende el láser HeNe. El rayo se dividirá y rebotará en todas partes de acuerdo con esas flechas (las flechas son importantes aquí), y eventualmente saldrá del sistema en el lugar etiquetado$N_R$y la fuente de la longitud de onda desconocida. Usando ese camino trazado por el láser HeNe, puedes hacer las alineaciones para la longitud de onda desconocida: se introduce colinealmente a una de las salidas del haz HeNe. En muchos lugares, el camino trazado por la longitud de onda desconocida será en la dirección opuesta a la que indican las flechas.

Después de eso, puede deslizar el carrito, tomar las medidas necesarias de$N_R$y$N_U$, y resuelve la forma de ecuaciones$\lambda$.

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Volvamos al propósito del sistema de 3 espejos; esa es una descripción suficiente del funcionamiento del interferómetro.

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Una idea que surgió en los comentarios bajo la pregunta fue que la disposición de 3 espejos evita que la imagen se voltee. Aquí hay una imagen que describe cómo se voltea un objeto con un sistema de 2 espejos pero no con un sistema de 3 espejos.

Si bien esta es potencialmente una razón por la que alguien generalmente usaría 3 espejos en lugar de 2 en un periscopio o algo así, no parece ser relevante en este caso.

De buenas a primeras, tener la imagen del láser HeNe y las imágenes de la longitud de onda desconocida volteadas al revés obviamente no es un problema: si observa videos de interferómetros (incluido el que vinculé mientras describía la forma en que se cuentan las franjas; está aquí nuevamente ), verás que los patrones muestran simetría radial (son prácticamente círculos concéntricos). Además, el artículo antes mencionado de Hall y Lee usó un sistema de 2 espejos, por lo que hay una confirmación adicional de que no hay complicación teórica.

Pero la verdad es que mientras que si sustituyes 2 espejos en lugar de 3, obtendrás cada imagen volteada verticalmente, también verás un giro vertical en el sistema de 3 espejos, como lo menciona StevenSagona en un comentario. Eso es porque el reflector cornercube se comporta como un sistema de 2 espejos y lo voltea de todos modos. Entonces, con un sistema principal de 2 espejos, la imagen se voltea tres veces (una hacia el cubo de la esquina, una vez en el cubo de la esquina y una vez de regreso), pero con un sistema de 3 espejos, se voltea una vez. Efectivamente, ¡aquí no hay diferencia! El siguiente diagrama lo hace un poco más claro.

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Hasta ahora, hemos demostrado que un sistema de 2 espejos funciona perfectamente bien, e incluso se propuso en el documento que este interferómetro de 3 espejos citó extensamente como una buena descripción de los conceptos. También hemos demostrado que aparentemente no hay diferencia de funcionalidad.

Resulta que el espejo$M4$se añade "para facilitar la alineación". M4 es el único espejo estacionario en toda la configuración. No se puede ajustar de ninguna manera (sin desplazamiento, sin rotación), a diferencia de todos los demás:

1. $M1$y$M2$se ajustan hasta que el haz de$M2$viaja paralelo a la pista y el haz incidente y el haz reflejado en$CC1$no se superponen (lo mismo que asegurar el incidente en$CC1$está desplazada de la 'articulación' central de$CC1$). Idealmente, la ubicación del punto observado no debería variar si desliza el carro a lo largo del camino entre$M2$y$M5$

2. Dejando$M1$y$M2$estacionario,$M3$y$M5$se ajustan simultáneamente para alinear las cosas de modo que las vigas de los 2 brazos estén colineales cuando el carro (junto con$CC1$y$CC2$) es removido.

En medio de todo eso,$M4$"corrige la geometría".

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No estaba convencido, así que decidí intentar implementar mi interpretación de WetSavannaAnimal, también conocido como la idea de Rod Vance de los comentarios... ¿3 espejos facilitan la alineación? Hagamos la geometría.

Usaremos este diagrama, donde todas las flechas azules gruesas corresponden a líneas paralelas al suelo. Las curvas verdes indican$A$. Cuándo$A=0$, el sistema está perfectamente alineado.$\theta$y$\phi$son nuestros ángulos ajustables.

Soy un gran admirador de los diagramas ultra coloridos.

Nuestra configuración, independientemente de la cantidad de espejos, siempre tendrá todos los espejos que no se pueden mover a diferentes ubicaciones: sus centros permanecen fijos. Sin embargo, todo excepto lo que se define como$M4$es capaz de rotar alrededor de un eje que se encuentra plano sobre la superficie del espejo, perpendicular al plano en el que se encuentran todos los posibles rayos incidentes.$M4$está pegado perpendicular al suelo. Los otros 2 espejos tienen que estar directamente uno encima del otro, es decir, si el haz de$M2$a$M5$se superpone a la$x$eje y el$y$El eje es perpendicular a su pantalla, ambos espejos giratorios ($M3$y$M5$y los equivalentes del sistema de 2 espejos) tendrán el mismo$x$y$y$coordenadas: sólo sus$z$las posiciones difieren. Estas son restricciones mecánicas para el sistema y no se pueden violar en este caso. Esta es una suposición segura, ya que sería poco práctico implementar disposiciones para grados de libertad adicionales: hacerlo haría que la alineación fuera extremadamente difícil al crear una gran cantidad de variables.

Aquí está mi lógica detrás de las matemáticas que siguen: mi objetivo es encontrar una ecuación diferencial parcial para cada ángulo etiquetado$A$(es decir, los ángulos entre la línea paralela al suelo y el último rayo reflejado) como funciones de los respectivos$\theta$y$\phi$valores en esas dos imágenes. Las ecuaciones diferenciales parciales nos dirán qué tipo de cambio en$A$es causado por un pequeño cambio en$\theta$y que tipo de cambio en$A$es causado por un pequeño cambio en$\phi$. Estamos considerando todo lo demás: distancias entre espejos, etc. como constantes.

Consideremos primero el sistema de 2 espejos. La geometría es un poco confusa, pero es simple en teoría. Es solo la aplicación del hecho de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Obtienes esta ecuación:

$$A(\theta, \phi)=\pi -2\theta-2\phi$$ $$\frac{\partial A}{\partial\theta}=\frac{\partial A}{\partial\phi}=-2$$

Una prueba fácil de entender esto es probar$\theta=\phi=\frac{\pi}{4}$. Sabemos que debería funcionar. Y efectivamente, obtenemos$A=0$, lo que significa que el rayo se superpone sobre la línea paralela al suelo. La ecuación diferencial parcial muestra que para un pequeño cambio en$\theta$,$A$variará por el doble de ese cambio. El signo significa que si aumentas$\theta$,$A$disminuye Suficientemente fácil.

Entonces, considere el sistema de 3 espejos.

Después de una geometría aún más confusa (para la cual necesitaba invocar los poderes de Microsoft Paint, pero esa es una historia diferente),

$$A(\theta, \phi)=2\theta -2\phi$$ $$\frac{\partial A}{\partial\theta}=\bigg|\frac{\partial A}{\partial\phi}\bigg|=2$$

Un análisis rápido y superficial: la intuición coincide con las matemáticas que afirman que$A=0$cuando sea$\theta=\phi$. Además, hay un número indefinido de soluciones, todas las cuales existen para diferentes distancias verticales entre los 2 espejos ajustables y el fijo, dentro de cosas razonables como considerar ángulos entre$0$y$\pi$. Los signos de ambas diferenciales parciales son diferentes, por lo que para una de ellas, un aumento resulta en un aumento de$A$, mientras que para el otro, un aumento provoca una disminución en$A$.

Sin embargo, esto es completamente intrascendente. Eventualmente no demostramos ninguna ventaja del sistema de 3 espejos: en todos los casos el coeficiente es 2 y el signo realmente no hace la diferencia.

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La respuesta decepcionante e insatisfactoria es que tendremos que tomar las palabras del autor e ir con "hace que sea más fácil de ajustar". Me imagino que se vuelve más pronunciado cuando intentas implementarlo de manera efectiva, pero esperaba algo un poco más emocionante.

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_{Para aclarar algo más de los comentarios, que se trataba de cómo la asimetría del haz de un láser de diodo puede distorsionar el patrón de interferencia... Esa es una de las razones por las que se eligió el láser HeNe. Como se señaló en el documento que contenía esa imagen, el uso de láseres de diodo requiere aisladores de Faraday para restringir las direcciones de paso de la luz.}

Como se señaló en la respuesta del presidente del usuario, los autores del artículo: "Un medidor de ondas Michelson confiable, compacto y de bajo costo para la medición de la longitud de onda del láser" ( .PDF ) dicen: "Se agregó el espejo M4 para facilitar la alineación, como se explica más adelante". y "El espejo M4 no necesita ser ajustable y está presente solo para corregir la geometría para que los haces se superpongan". - La "respuesta insatisfactoria es que tendremos que tomar las palabras del autor...".

Un poco más de investigación resulta esto:

" Interferómetro Sagnac para la detección de ondas gravitacionales " (21 de agosto de 1995), ( .PDF ) por Ke-Xun Sun, MM Fejer, Eric Gustafson y Robert L. Byer, que explica el interferómetro Sagnac de área cero .

"Los interferómetros de Sagnac son, en primer lugar, insensibles a cualquier desplazamiento estático o de baja frecuencia de sus componentes ópticos, y las franjas no se ven afectadas por variaciones menores de frecuencia en los láseres o birrefringencia. Se ha propuesto una variante de área cero del interferómetro de Sagnac . para LIGO de tercera generación. La Fig. 1 muestra cómo al dirigir la luz a través de dos bucles de sentido opuesto, se obtiene un área efectiva de cero. Esta variante del interferómetro de Sagnac es, por lo tanto, insensible a la rotación o deriva de baja frecuencia de sus componentes ópticos , mientras que manteniendo una alta sensibilidad a eventos transitorios de interés astronómico.

"FIG. 1. ( a ) Interferómetro Sagnac convencional. ( b ) Interferómetro Sagnac de área cero para detección de desplazamiento con una geometría que cumple con los requisitos de LIGO. ( c ) Fase diferencial calculada teóricamente generada por una onda gravitacional con tensión$h_g ~ 10^{-23} / \sqrt{\text{Hz}}$, en un rebote de 20 (número de rebote$N ­= 20$) línea de retardo, 4 km de longitud de brazo, interferómetro Sagnac de área cero iluminado con un láser de 1064 nm. La respuesta del interferómetro de Michelson (línea discontinua) se muestra a modo de comparación. La respuesta de Sagnac alcanza su punto máximo a 690 Hz y tiene un ancho de banda de 3 dB de 220 a 1250 Hz. Suponiendo una eficiencia del sistema del 75%, la detección de una fase diferencial en el límite de ruido de disparo de$10^{-11} \, \text{rad} / \sqrt{\text{Hz}}$, requiere ~ 5 kW de potencia láser en el divisor de haz. A este nivel de potencia, la sensibilidad de deformación limitada por ruido de disparo cae a$10^{-22} \sqrt{\text{Hz}}$a$f_g \approx 32$Hz, una frecuencia a la que dominará el ruido de desplazamiento sísmico y térmico.

Si solo tuviera los espejos M3 y M5, no habría nada que se opusiera a su desalineación con los rayos que se propagan en sentido contrario. El uso de M4 se opone a cualquier ligero desajuste oponiéndose al error de M3 y M5; en lugar de agregar su desalineación, se resta.

La razón más obvia para tres espejos tiene que ver con la paridad de reflexión.

En el lado izquierdo, tiene un solo espejo que refleja. A la derecha, también necesitarías un número impar, por lo que optaron por tres espejos.